Подведем итог

Метод вариации произвольной постоянной при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка состоит из трех этапов:

1. сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ в виде ,

2. далее варьируется произвольная постоянная С, то есть, заменяется функцией С(x),

3. в заключении функция подставляется в исходное дифференциальное уравнение, откуда определяется C(x) и записывается ответ.

Покажем применение метода вариации произвольной постоянной на примере.

Пример.

Найдите решение задачи Коши , y(1) = 3.

Решение.

Иными словами, нам требуется отыскать частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения при начальном условии y(1) = 3. В нашем примере и Q(x) = x² + 1. Сначала найдем общее решение ЛОДУ. Далее воспользуемся методом вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ, и, наконец, найдем искомое частное решение.

Общим решением соответствующего ЛОДУ является семейство функций , где С – произвольная постоянная. (Решить это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными предоставляем Вам самим).

Варьируем произвольную постоянную и подставляем эту функцию в исходное уравнение:

откуда , где C₁ – произвольная постоянная.

Следовательно, - общее решение неоднородного уравнения.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 3.

Так как , то . Обратившись к начальному условию, получаем уравнение , откуда . Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид .

Можно переходить к рассмотрению другого метода решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений .

Поиск по сайту: