Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

В этой статье мы разберемся с решением самых простых дифференциальных уравнений первого порядка, которые не содержат неизвестной функции y. Такие дифференциальные уравнения либо уже разрешены относительно производной , либо их можно разрешить относительно производной .

Для начала желательно повторить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Общее решение дифференциальных уравнений вида на заданном интервале X можно отыскать, проинтегрировав обе части этого равенства. Получим . Если обратиться к свойствам неопределенного интеграла, то придем к искомому общему решению y = F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке X, а С – произвольная постоянная.

Заметим, что во многих задачах интервал X не указывается. В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл.

Если требуется найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, то после нахождения общего интеграла y = F(x) + C, еще нужно вычислить значение постоянной C = C₀, используя начальное условие. То есть, константа C = C₀ определяется из уравнения F(x₀) + C = y₀, и искомое частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид y = F(x) + C₀. Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения , проверьте правильность результата. Найдите частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

Решение.

Проинтегрировав исходное дифференциальное уравнение, получим . Этот интеграл возьмем методом интегрирования по частям:

Таким образом, - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы убедиться в правильности результата, проведем проверку. Для этого подставим полученное решение в исходное уравнение:

Следовательно, при исходное уравнение обращается в тождество , поэтому общее решение дифференциального уравнения найдено правильно.

Отметим, что найденное решение является общим решением дифференциального уравнения для всех действительных значений аргумента x.

Осталось определить частное решение ОДУ, удовлетворяющее начальному условию . Иными словами, нужно найти такое значение константы С, при котором будет верно равенство .

Таким образом,
.

Следовательно, подставив С = 2 в общее решение ОДУ, получим частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: .

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно разрешить относительно производной, разделив обе части равенства на f(x). Такое преобразование будет эквивалентным, если f(x) не обращается в ноль ни при каких x из интервала интегрирования дифференциального уравнения X.

Возможны случаи, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль. Для таких значений x общим решением дифференциального уравнения является любая функция y, определенная в них, так как .

Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняются условия , то в этом случае ОДУ решений не имеет.

Для остальных x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения . Разберем на примерах.

Пример.

Найдите общее решение обыкновенного дифференциального уравнения .

Решение.

Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента, поэтому областью определения выражения ln(x+3) является интервал x > -3. Следовательно, исходное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3. При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в ноль, поэтому можно разрешить ОДУ относительно производной, разделив обе части на х + 3. Получаем .

Теперь осталось проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: . Для взятия этого интеграла воспользуемся методом подведения под знак дифференциала: . Таким образом, - общее решение дифференциального уравнения при x > -3.

Пример.

Найти все решения дифференциального уравнения .

Решение.

Дифференциальное уравнение имеет смысл для всех действительных x. Если считать, что x ≠ 0, то можно преобразовать ОДУ к виду . При x = 0 исходное уравнение обращается в тождество для любых функций , определенных при x = 0. Таким образом, при x = 0 решением дифференциального уравнения является любая функция y, определенная при нулевом аргументе.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение :

Ответ:

- решение дифференциального уравнения, при x = 0 решением дифференциального уравнения является любая функция, определенная при этом значении аргумента.

Пример.

Найдите общее решение обыкновенного дифференциального уравнения .

Решение.

sinx обращается в ноль при . Для этих значений аргумента cosx ≠ 0. Поэтому, при исходное дифференциальное уравнение решений не имеет. В этом случае мы можем разделить обе части равенства на sinx. Получим ОДУ, разрешенное относительно производной . Проинтегрируем его: . Таким образом, - общее решение дифференциального уравнения при .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида или .

Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.

В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f₂(y) ⋅ g₁(x). То есть, получим . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f₂(y) ≠ 0 и g₁(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.

Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются .

Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Дифференциальные уравнения приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение с помощью подстановки z = 2x+3y преобретает вид .

ОДУ или преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен или . Например, дифференциальное уравнение после замены принимает вид .

Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x² или y² числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения , чтобы оно соответствовало случаям или соответственно.

Дифференциальные уравнения преобразуются к только что рассмотренным ОДУ или , если ввести новые переменные , где - решение системы линейных уравнений и провести некоторые преобразования.

Например, дифференциальное уравнение после введения новых переменных преобразуется к виду . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными .

Поиск по сайту: