Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка

Будем искать неизвестную функцию в виде произведения y = u ⋅ v, где u и v – функции аргумента x.

Если подставить эту функцию в линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, то получим

Если найти такое v, чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения , то u можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными .

Разберем этот способ, решив предыдущий пример.

Пример.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Решение.

Пусть y = u ⋅ v, тогда

Находим такое v, отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения .

Возьмем частное решение v = x² + 1, соответствующее C₂ – С₁ = 0.

Для этого частного решения имеем

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть .

Дифференциальное уравнение Бернулли .

Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например, .

Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой .

Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции y как y(x) = u(x)v(x).

Поиск по сайту: