Дифференциальное уравнение Бернулли

В этой статье мы разберем методы решения дифференциального уравнения Бернулли. Для закрепления материала подробно рассмотрим решение примеров.

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид . При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными .

Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его клинейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной . Действительно, при такой замене имеем и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид

Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.

Разберем на примере.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения Бернулли .

Решение.

В нашем примере . Введем новую переменную , тогда . После проведения замены переменной и небольших преобразований получаем ЛНДУ первого порядка

Решим его методом вариации произвольной постоянной.

Для этого сначала находим общее решение дифференциального уравнения .

z = 0 также является решением дифференциального уравнения , так как оно обращается в тождество при нулевой функции z. Этот случай можно описать равенством при C = 0. Таким образом, общим решением дифференциального уравнения является , где C – произвольная постоянная.

Теперь варьируем произвольную постоянную, то есть, принимаем общим решением дифференциального уравнения . Поэтому

где С₃ – произвольная постоянная.

Таким образом, .
Осталось провести обратную замену. Так как мы принимали , то . Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Рассмотрим еще один метод решения дифференциального уравнения Бернулли, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения функций u(x) и v(x).

В этом случае . После подстановки в уравнение Бернулли получаем

Если в качестве функции v взять ненулевое частное решение дифференциального уравнения , то придем к равенству

откуда и определим функцию u.

Решим пример этим способом, чтобы стало все понятно.

Пример.

Решите задачу Коши , y(0) = 1.

Решение.

Иными словами, нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

После деления обеих частей равенства на x² + 1 становится понятно, что мы имеем дифференциальное уравнение Бернулли .

Сначала найдем общее решение.

Примем y = u ⋅ v, тогда и уравнение примет вид

Найдем частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными , отличное от нуля.

Возьмем в качестве частного решения .

Тогда

Прежде чем возьмем каждый из интегралов в отдельности, отметим, что u = 0 является решением.

Интеграл, стоящий в левой части , легко находится из таблицы первообразных:

Для нахождения интеграла примем arctgx = z и воспользуемся методом интегрирования по частям:

Таким образом,

Откуда и - все решения дифференциального уравнения Бернулли .

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1. Так как , то . Следовательно, .

Таким образом, - искомое решение задачи Коши.

Уравнения в полных дифференциалах .

Если для любых значений x и y выполняется , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

К примеру, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал функции .

Поиск по сайту: