Уравнения в полных дифференциалах. Левые части дифференциальных уравнений вида иногда представляют собой полные дифференциалы некоторых функций

Левые части дифференциальных уравнений вида иногда представляют собой полные дифференциалы некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то будет найден общий интеграл дифференциального уравнения. В этой статье опишем метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, теоретический материал снабдим примерами и задачами с подробным описанием решения.

Левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0, если выполняется условие .

Так как полный дифференциал функции U(x, y) = 0 есть , то при выполнении условия можно утверждать, что . Следовательно, .

Из первого уравнения системы имеем . Функцию можно найти, используя второе уравнение системы:

Так будет найдена искомая функция U(x, y) = 0.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

В этом примере . Условие выполняется, так как

следовательно, левая часть исходного дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Наша задача сводится к отысканию этой функции.

Так как есть полный дифференциал функции U(x, y) = 0, то . Интегрируем по x первое уравнение системы и дифференцируем по y полученный результат . С другой стороны, из второго уравнения системы имеем . Следовательно,

где С – произвольная постоянная.

Таким образом, и общим интегралом исходного уравнения является .

Существует другой метод нахождения функции по ее полному дифференциалу. Он заключается во взятии криволинейного интеграла от фиксированной точки (x₀, y₀) до точки с переменными координатами (x, y): . В этом случае значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Удобно брать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат.

Рассмотрим на примере.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Проверим выполнение условия :

Таким образом, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Найдем эту функцию, вычислив криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y). В качестве пути интегрирования возьмем ломаную: первый участок ломаной пройдем по прямой y = 1 от точки (1, 1) до (x, 1), вторым участком пути возьмем отрезок прямой от точки (x, 1) до (x, y).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

Пример.

Определите общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Так как , то условие не выполняется, следовательно, левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции и следует использовать другой способ решения (данное уравнение есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными).

Поиск по сайту: