Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка

Линейному неоднородному дифференциальному уравнению (ЛНДУ) соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) (при Q(x) = 0). Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его.

При y=0 дифференциальное уравнение обращается в тождество, поэтому y=0 также является решением (этому случаю соответствует решение при C=0). Таким образом, можно утверждать, что - общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.

Теперь мы знаем, что решение линейного однородного дифференциального уравнения . Для нахождения общего решения соответствующего неоднородного уравнения варьируем постоянную С, то есть, считаем С функцией аргумента x, а не константой. Другими словами, принимаем общим решением ЛНДУ.

Тогда, если подставить в дифференциальное уравнение , то оно должно обратиться в тождество

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

Производная сложной функции равна . А если вспомнитьсвойства неопределенного интеграла, то .

Таким образом, возможен следующий переход: .

Полученное уравнение есть простейшее дифференицальное уравнение первого порядка. Решив его, мы определим функцию C(x), что позволит записать решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде .

Поиск по сайту: