Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

В этой статье рассмотрим основные принципы нахождения общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, и подробно разберем решения нескольких примеров.

Для начала рекомендуем вспомнить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид , а неоднородное , где функции f(x), p(x) и q(x) - непрерывны на интервале интегрирования X. В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q есть постоянные, нахождение общего решения описано в разделахлинейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В каком же виде ищется общее решение ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка? Сформулируем две теоремы, которые отвечают на этот вопрос.

Теорема.

Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .

Теорема.

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму , где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом,

· y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂ - общее решение дифференциального уравнения , где y₁ и y₂ – его линейно независимые частные решения,

· а - общее решение уравнения , где - любое из его частных решений, а y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ.

Осталось научиться находить y₁, y₂ и .

В самых простых случаях эти функции подбираются.

Линейно независимые функции y₁ и y₂ наиболее часто находятся среди наборов

Линейная независимость функций y₁ и y₂ проверяется с помощью определителя Вронского . Если функции линейно независимы на интервале X, то определитель Вронского отличен от нуля для любого x из промежутка X.

К примеру, функции y₁ = 1 и y₂ = x линейно независимы для любого действительного значения x, так как .

Функции y₁ = sinx и y₂ = cosx также линейно независимы на R, так как

А вот функции y₁ = - x - 1 и y₂ = x + 1 линейно зависимы на интервале (-∞; +∞), так как

В общем случае подбор y₁, y₂ и труден и далеко не всегда возможен.

Если получится подобрать нетривиальное (ненулевое) частное решение y₁ ЛОДУ второго порядка , то его общее решение можно отыскать, понизив степень уравнения до первой с помощью подстановки .

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение.

Несложно заметить, что y₁ = x является частным решением дифференциального уравнения при x ≠ 0. Понизим степень исходного уравнения с помощью замены откуда .

Если вспомнить правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, то
.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Проинтегрировав обе части равенства, получаем и после потенцирования общее решение можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Так как мы принимали , то общим решением исходного ЛОДУ второго порядка будет , где F(x) одна из первообразных функции .

Первообразная F(x) в элементарных функциях не выражается.

При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка , если удалось найти y₁ и y₂, то можно не заниматься подбором . Общее решение ЛНДУ может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂. Варьируя произвольные постоянные, в качестве общего решения ЛНДУ принимаем y₀ = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂. Производные неизвестных функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C₁(x) и C₂(x) получаются при последующем интегрировании.

Пример.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение.

Несложно заметить, что линейно независимыми частными решениями соответствующего ЛОДУ являются и , то есть, . Варьируем произвольные постоянные, и в качестве общего решения исходного дифференциального уравнения примем .

Составляем систему уравнений

Для ее решения используем метод Крамера:

Интегрируем полученные выражения для нахождения C₁(x) и C₂(x):

Таким образом, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .

Поиск по сайту: