Замечание. Ответ можно записать в любом из трех видов или , или

Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .

Прежде чем продолжить, напомним, что когда y является функцией аргумента x.

В дифференциальных уравнениях или переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как .

При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f₂(y) и g₁(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Найти все решения дифференциального уравнения .

Решение.

Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:

Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными :

В преобразованиях мы заменили C₂ - C₁ на С.

Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:

Ответ:

.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида , a ≠ 0, b ≠ 0 приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными введением новой переменной z = ax + by, где z представляет собой функцию аргумента x.

В этом случае

После подстановки в исходное уравнение и небольших преобразований приходим к уравнению с разделенными переменными

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Решение.

Пусть z = 2x + y, тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение и преобразуем его к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем обе части равенства . Интеграл в левой части найдем методом интегрирования по частям, а интеграл в правой части является табличным:

Следовательно, . Если принять C = C₂ - C₁ и сделать обратную замену z = 2x + y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: .

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e. Для этого подставляем x = 0 и y(0) = e в общее решение дифференциального уравнения и находим значение константы С:

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = e, имеет вид .

Поиск по сайту: