 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Задача 4. 4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А
4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
4.1. А = 
; 4.2. А = 
;
4. 3. А = 
; 4.4. А = 
;
4. 5. А = 
; 4.6. А = 
;
4.7. А = 
; 4.8. А = 
;
4.9. А = 
; 4.10. А = 
;
4. 11. А = 
; 4.12. А = 
;
4.13. А = 
; 4.14. А = 
;
4.15. А = 
; 4.16. А = 
;
4.17. А = 
; 4.18. А = 
;
4.19. А = 
; 4.20. А = 
.
Указания к задаче 4: с обственные числа и собственные векторы
Число 
называется собственным числом квадратной матрицы А n -ого порядка, если существует такой ненулевой n -мерный вектор Х, что А Х = Х.
Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .
Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения 
, которое называется характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
(А - Е) = 0.
Задача 4.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
А = 
.
Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А - Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.
А – Е = – 
= 
.
При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения 
. Получаем:
, 
, 
.
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть
Х = 
– искомый собственный вектор.
Тогда система однородных уравнений (А - 
Е) = 0 выглядит так:
или
(1)
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При 
система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы 
, где 
любое число.
В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, 
, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
При 
система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы 
, где 
любое число.
Пусть, например, 
, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Аналогично при 
получаем систему
,
общее решение которой 
, где любое число.
Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу 
, имеет вид
.
Ответ: , , ,
, , .
Поиск по сайту: