Тема 7: Нелинейное программирование

Задание 1

Составить модель задачи по определению оптимального плана производства n типов машин при заданных объемах ресурсов, норм расхода (i=1,…, m, j=1,..., n) i-го ресурса на производство j-й машины и величинах (j=1, …, n) прибыли при реализации одной машины j-ого вида. Предполагается, что к концу планируемого периода не должно быть незавершенного производства.

Решение

Задание 2

Имеются суда m типов в количествах , на каждом из которых имеются n грузовых емкостей с грузоподъемностью . Подлежат перевозке p типов грузов в количестве . Составить математическую модель задачи по выбору оптимального состава судов, если затраты по эксплуатации одного судна i-ого типа равны .

Решение

Задание 4

Используя метод множителей Лагранжа, найти максимальное значение следующих функций:

1) при ограничении

Решение

Составим функцию Лагранжа:

Продифференцируем ее по переменным

Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:

Решим полученную систему:

Ответ:

2) при ограничении .

Решение

Составим функцию Лагранжа:

Продифференцируем ее по переменным

Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:

Решим полученную систему:

Ответ:

3) при ограничении .

Решение

Составим функцию Лагранжа:

Продифференцируем ее по переменным

Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:

Решим полученную систему:

Ответ:

4) при ограничении .

Решение.

1) Ищем стационарные точки для безусловного экстремума. Для этого продифференцируем Z по ее переменным:

Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему

Находим значения функции Z в точках, удовлетворяющих ограничениям:

2) Составим функцию Лагранжа:

Продифференцируем ее по переменным

Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:

Решим полученную систему:

Сравним результаты 1) и 2)

Ответ:

5) при ограничении .

1) Ищем стационарные точки для безусловного экстремума. Для этого продифференцируем Z по ее переменным:

Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему

Находим значения функции Z в точках, удовлетворяющих ограничениям:

2) Составим функцию Лагранжа:

Продифференцируем ее по переменным

Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:

Решим полученную систему:

Сравним результаты 1) и 2)

Ответ:

Задание 5

В области решений системы неравенств 2x+5y≤30, 2x+y≤14, x≥0, y≥0 определить глобальные экстремумы функций: а) ; б) .

Решение

а) Построим область допустимых решений.

Построим линию уровня:

Линия - _______________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Получим систему и решим ее:

Ответ:

б) Область допустимых решений такая же, что и в а).

Построим линию уровня:

Линия - _______________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Получим систему и решим ее:

Ответ:

Задание 6

В области решений системы неравенств , , x+y≥8, x≥0, y≥0 определить глобальные экстремумы функций: а) z=x+3y, б) z=x+y, в) , г) z=xy.

Решение

а) Построим область допустимых решений.

Построим линию уровня:

Линия - _______________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Получим систему и решим ее:

Ответ:

б) Область допустимых решений такая же, что и в а).

Построим линию уровня:

Линия - _______________________________________________________

__________________________________________________________________

Получим систему и решим ее:

Ответ:

в) Область допустимых решений такая же, что и в а).

Построим линию уровня:

Линия - _______________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Получим систему и решим ее:

Ответ:

б) Область допустимых решений такая же, что и в а).

Построим линию уровня:

Линия - _______________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Получим систему и решим ее:

Ответ:

Поиск по сайту: