|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод Дэвидона-Флетчера-ПауэллаФлетчер и Пауэлл (R. Fletcher, M. J. D. Powell; 1963-1971) предложили высокоэффективный метод минимизации произвольных функций, соединяющий свойства как методов сопряженных направлений, так и методов ньютоновского типа, и при этом не требующий вычисления вторых производных. Полное обоснование этого метода требует довольно много места, поэтому мы ограничимся изложением основных идей и расчетных формул. В основе метода Флетчера-Пауэлла лежат итерации ньютоновского типа (12), но вместо точной матрицы Гессе H используется некоторое приближение к ней, которое постепенно уточняется по мере приближения к минимуму. На k-м шаге алгоритма используется направление поиска sk, которое определяется как sk=-Akgk, (33) где gk – градиент минимизируемой функции, вычисленный в начальной точке поиска xk. Следующая точка xk+1 получается в результате одномерной минимизации: xk+1=xk+lksk, (34) причем lk определяется с помощью процедуры кубической интерполяции Дэвидона (см. п. 1.3). Поэтому весь алгоритм обычно называют методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП). Сравнивая уравнения (12) и (33), видим, что Ak имеет смысл приближения к H-1. Применение уравнения (33) означает, что вместо антиградиента -gk для спуска к минимуму берется направление, получаемое в результате поворота с помощью матрицы Ak. Эта геометрическая интерпретация уже обсуждалась в связи с методом Ньютона (см. рис. 8). Для того, чтобы повернутый вектор skбыл, тем не менее, всегда направлен в сторону понижения значений функции, необходимо, чтобы матрица Ak была положительно определенной. На первом шаге алгоритма ДФП в качестве Ak берут единичную матрицу (A1=E), так что s1=-g1, т. е. вначале движение не отличается от метода скорейшего спуска. Затем матрицу Ak после каждого шага корректируют, применяя следующие формулы: Dxk=xk+1-xk=lksk=-lkAkgk изменение x на k-м шаге, Dgk=gk+1-gk изменение градиента на k-м шаге, , , . (35) Можно показать, что в случае минимизации квадратичной функции N переменных направления sk становятся сопряженными, а матрица Ak через N шагов превращается в H-1, так что последний шаг приводит в точку минимума. Если функция не является квадратичной, то процесс, вообще говоря, не заканчивается за N шагов, но Ak по мере приближения к точке минимума асимптотически стремится к H-1, а скорость сходимости в пределе становится квадратичной, как у метода Ньютона. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |