Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли

1) Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производную в первой степени:

(1)

2) Уравнением Бернулли называется уравнение вида

(2)

(при это уравнение является линейным, при - уравнением с разделяющимися переменными). В (1) и (2) и - заданные функции.

Оба типа уравнений можно решать методом Бернулли с помощью подстановки

, где u и v – новые неизвестные функции от x, и - их производные по x.

Рассмотрим решение линейного уравнения.

Подстановка выражений для y и в уравнение (1) приводит его к виду

.

В качестве v выбираем одну из функций, удовлетворяющих уравнению

, (3)

тогда функция u определяется из уравнения

(4)

Уравнения (3), (4) – уравнения с разделяющимися переменными.

Рассмотрим решение уравнения (3).

,

,

(5).

Подставим (5) в (4), найдем функцию u.

Пример 1. Найти общее решение линейного уравнения .

Решение. Положим , тогда .

:

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда

:

.

:

Следовательно,

Пример 2. Найти частное решение уравнения

, у(1)=1.

Решение.

.

Задачи. Решить уравнение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. .

Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию,

1. , у(0)=

2. , у(1)=1

3. , у(0)=5

4. у(2)=0

5. , у()=

6. , у()=

7. , у(-1)=0.

Поиск по сайту: