АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциальные уравнения второго порядка. Мы перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений вида

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. I. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.
  4. II. Однородные уравнения.
  5. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  6. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  7. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  8. V2: Применения уравнения Шредингера
  9. V2: Уравнения Максвелла
  10. VI Дифференциальные уравнения
  11. Алгебраические уравнения
  12. Алгебраические уравнения

Мы перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений вида

.

Обычно рассматривают уравнения, разрешенные относительно производной

Начнем с уравнения

Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную: а затем и саму функцию:

Так как мы интегрируем дважды, то и получили две произвольные постоянные, которые обозначили

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые задаются формулой содержащей две произвольные постоянные. Эта совокупность решений называется общим решением.

Частное решение уравнения отыскивается при помощи задания начальных условий

Геометрический смысл начальных условий заключается в том, что помимо точки через которую должна проходить интегральная кривая, мы задаем еще угловой коэффициент касательной к этой кривой. Отметим, что так как общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных, то через данную точку проходит бесчисленное множество интегральных кривых, лишь одна из которых имеет данный угловой коэффициент.

 

 

§ 6. Частные случаи уравнений второго порядка.

 

Возьмем дифференциальное уравнение второго порядка

И рассмотрим частные случаи, легко приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка.

 

1. Правая часть уравнения не содержит y и y′:

Так как то

Интегрируя еще раз, будем иметь:

где - произвольные постоянные.

2. Правая часть уравнения не содержит y:

(*)

Положим и уравнение (*) обращается в уравнение первого порядка относительно z:

Найдя решение этого уравнения, мы искомое решение получим интегрированием равенства т.е.

Пример. Решить уравнение

Решение.

 

Полагая приходим к уравнению первого порядка

Уравнение является линейным.

 

 

Тогда

 

3. Правая часть уравнения не содержит

 

Положим и будем считать функцией от Дифференцируя это равенство, получим Чтобы исключить , произведем следующее преобразование:

Таким образом,

Подставив в уравнение, будем иметь:

т.е. уравнение первого порядка относительно как функции от

Решив его, найдем Тогда искомое решение получим из уравнения с разделяющимися переменными:



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)