Пример 2. Найти общее решение уравнения

Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни .

В соответствии с формулой (4) получаем общее решение исходного дифференциального уравнения

.

3). Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные числа:

Покажем, что в этом случае решениями будут служить функции

Проведем проверку для функции

Подставляя найденные производные в левую часть уравнения (1) и группируя слагаемые, получим:

Если подставить корень в характеристическое уравнение, то будем иметь:

Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части, следовательно,

Эти равенства показывают, что в результате подстановки функции

в уравнение мы получаем нуль. Совершенно аналогично можно произвести проверку и для функции

Итак, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения общее решение имеет вид

Определитель

всегда отличен от нуля.

Поиск по сайту: