Пример 2. Найти общее решение уравнения
Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни .
В соответствии с формулой (4) получаем общее решение исходного дифференциального уравнения
.
3). Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные числа:

Покажем, что в этом случае решениями будут служить функции

Проведем проверку для функции 

Подставляя найденные производные в левую часть уравнения (1) и группируя слагаемые, получим:

Если подставить корень в характеристическое уравнение, то будем иметь:

Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части, следовательно,

Эти равенства показывают, что в результате подстановки функции 
в уравнение мы получаем нуль. Совершенно аналогично можно произвести проверку и для функции 
Итак, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения общее решение имеет вид

Определитель

всегда отличен от нуля.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | Поиск по сайту:
|