Пример 1. Найти общее решение уравнения

Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для данного уравнения принимает вид

.

Т.к. , то в соответствии с формулой (3) общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

2).Корни характеристического уравнения действительные и равные.

В этом случае мы непосредственно получаем только одно решение

Покажем, что в качестве второго решения можно взять функцию

Продифференцируем дважды функцию

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения (1):

Поскольку корень характеристического уравнения, то

а так как двукратный корень, то по формуле Виета

Таким образом, выражение, заключенное в квадратной скобке, равно нулю, и функция

действительно является решением уравнения (1).

Итак, в случае действительных равных корней характеристического уравнения общее решение уравнения (1) имеет вид

И здесь легко проверить, что определитель, ни при каком значении не равен нулю:

Поиск по сайту: