Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим трубку тока, а в ней объём жидкости, ограниченной стенками узкой трубки тока и перпендикулярными к линии тока сечениями и . За некоторое время этот объём сместится вдоль трубки тока, причём граница объёма получит перемещение , а граница перемещение (рис. 5.5).

Работа, совершаемая при этом силами давления, равна приращению полной механической энергии: , заключённой в рассматриваемом объёме жидкости (на рис. 5.5 между сечениями 1 и 2).

,

где вследствие несжимаемости жидкости; , а (на рисунке эти объёмы заштрихованы).

Полная энергия рассматриваемого объёма жидкости слагается из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Возьмём сечения S трубки тока и перемещения настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одни и те же значения скорости , давления и высоты h. Приращение полной энергии (это разность полных энергий заштрихованных объёмов):

,

так как , то

.

Приравняв А и D Е, сократив на и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну сторону, получим:

Заметим, что уравнение вполне строго лишь при , т.е. для одной и той же линии тока. Так как и были выбраны произвольно, то можно утверждать, что для любой линии тока в стационарно текущей идеальной и несжимаемой жидкости выполняется условие (уравнение Бернулли):

Уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии.

Для горизонтальной линии тока:

Если скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Уравнение используется, например, в аэродинамических измерениях скорости потока газа. Обычно измеряют полное давление и статическое давление P в исследуемой точке потока, а значение скорости определяют как .

4. Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля. Для практических применений представляет особый интерес течение в круглой трубе (нефте- и газопроводы). Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в непосредственной близости к стенкам трубы до максимума на оси трубы.

Найдём закон изменения скорости по радиусу трубы. Выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиусом r и длиной (рис. 5.6). При стационарном течении этот объём движется без ускорения. В направлении движения на жидкость действует сила давления, модуль которой равен , во встречном направлении – . Результирующая сила давления:

.

На боковую поверхность действует тормозящая сила трения:

.

(Замечание: модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком).

Приравняв и , получим:

.

Производя сокращения и разделив переменные, получим:

.

Интегрируем:

.

При , отсюда

.

Подставим константу в выражение для , получим:

.

Скорость на оси трубы равна:

.

С учётом этого:

Вычислим поток жидкости Q, т.е. объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени (рис. 5.7). Через кольцо радиусом , шириной dr пройдёт в единицу времени объём жидкости dQ, равный произведению площади кольца на скорость на расстоянии от оси трубы:

.

Проинтегрировав от 0 до R, получим:

.

Рис. 5.7

Подставив значение в выражение , получим формулу Пуазейля (французский учёный):

Физический смысл формулы: объём Q жидкости, протекающий за секунду через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален разности давлений и у входа в трубу и на выходе из неё, четвёртой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости.

Формула справедлива только при ламинарном течении жидкости (см. далее). Формула применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей, а также для оценки необходимого перепада давления для получения нужного объёмного расхода.

5. Ламинарный и турбулентный режимы течения. Если при течении жидкости слои жидкости скользят относительно друг друга не перемешиваясь, такое течение называется ламинарным (или слоистым; lamina – (лат.) пластина, плоская).

Ламинарное течение наблюдается обычно при медленном течении. Если увеличить скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Скорость частиц в каждой точке пространства всё время быстро и нерегулярно изменяется. Такое течение называется турбулентным (turbulentus (лат.) – бурный, беспорядочный). При турбулентном течении происходит интенсивное перемешивание жидкости.

Английский физик Рейнольдс (1842 – 1912) установил, что характер течения определяется значением безразмерной величины:

где плотность жидкости (или газа); средняя по сечению трубы скорость потока; вязкость жидкости; характерный для поперечного сечения потока размер, например диаметр при круглом сечении или сторона квадрата при квадратном сечении.

Величина Re называется числом Рейнольдса. При малых Re течение носит ламинарный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Значение Re_кр для течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубеоколо2,3×10³. Примеры турбулентного течения: вода в горном потоке, за кормой корабля, дым из фабричной трубы и т.п.

6. Циркуляция скорости. Рассмотрим поле скоростей жидкости . В этом поле возьмём произвольный замкнутый контур L (рис. 5.8).

Пусть элемент длины контура. Интеграл называется циркуляцией вектора скорости по контуру L. Если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемое тело, равна нулю, то движение жидкости (газа) называется потенциальным. В противном случае движение называется вихревым.

Н.Е. Жуковский (выдающийся русский механик, уроженец Владимирской губернии (1847 – 1921)) впервые установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой зависимости между силой и циркуляцией скорости по контуру, охватывающему обтекаемое идеальной несжимаемой жидкостью крыло (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Сверху профиль крыла выпуклый, линии тока сверху крыла сгущаются, сечение потока уменьшается, скорость больше, чем снизу, где профиль плоский. Циркуляция скорости потока по контуру профиля крыла оказывается отличной от нуля. Согласно формуле Жуковского возникает подъёмная сила на единицу длины крыла:

где и соответственно плотность потока и скорость невозмущённого крылом потока.

Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные задачи механики жидкостей и газов.

2. В чём заключается понятие сжимаемости? Каким числом определяется сжимаемость?

3. Что такое вязкость? Какая жидкость называется идеальной?

4. Что называется линией тока, поверхностью тока, трубкой тока?

5. Запишите уравнение неразрывности. К каким средам оно применимо?

6. Запишите уравнение Бернулли. Какие законы (уравнения) использованы при его получении?

7. Запишите уравнение Бернулли для частных случаев:

а) жидкость неподвижна;

б) трубка тока расположена горизонтально.

8. Запишите формулу Пуазейля. Для какого режима течения она справедлива? Для каких целей может быть использована эта формула?

9. Что такое ламинарное и турбулентное течения? Сформулируйте условие перехода ламинарного режима течения в турбулентный.

10. Что выражает формула Жуковского?

Лекция № 6

Поиск по сайту: