Метод проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду, основанный на сравнении средних уровней ряда

Наличие во временном ряду трендовой компоненты не всегда можно определить с помощью графика. Поэтому для выявления этой компоненты используются специальные критерии проверки гипотезы о существовании тренда. Критерий основан на сравнении средних уровней временного ряда из N наблюдений, который делится на две равные части. Обе части временного ряда рассматриваются как самостоятельные выборочные совокупности, подчиняющиеся нормальному закону распределения.

Для каждой выборки рассчитываются следующие выборочные характеристики:

средние арифметические значения (средний уровень ряда)

выборочные дисперсии

При проверке предположения о наличии во временном ряду трендовой компоненты, выдвигается основная гипотеза о равенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей: H₀:μ_i=μ_j. Альтернативной является гипотеза о неравенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей: H₀:μ_i≠μ_{j .} Основная гипотеза H₀ проверяется при справедливости предположения о равенстве генеральных дисперсий. Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы k₁=n–1 и k₂=N–n–2.

Наблюдаемое значение F-критерия при проверке основной гипотезы вида Ho: G_i²=G_j² определяется по формуле при условии:

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия F_набл>F_крит, то основная гипотеза отклоняется, если F_набл≤F_крит, то основная гипотеза принимается.

Гипотеза о равенстве генеральных средних проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение t-критерия t_крит(α, N–2) определяется по таблице распределения Стьюдента, где α – уровень значимости, (N–2) – число степеней свободы.

Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы вида H₀:μ_i=μ_j определяется по формуле:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t_набл>t_крит, то основная гипотеза отвергается-генеральные средние двух выборок не равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента, если t_набл≤t_крит, то основная гипотеза принимается-генеральные средние двух выборок равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.

29. Аналитическое выравнивание ряда динамики, методика его проведения.

Более совершенным приемом выявления основной тенденции развития в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y=f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: линейная, параболическая и экспоненциальная. Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следует использовать гармонический анализ (гармоники ряда Фурье). Применение, именно, этого метода предпочтительно, поскольку он определяет закон, по которому можно достаточно точно спрогнозировать значения уровней ряда.

Целью же аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости y=f(t). Функцию y=f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Это могут быть различные функции.

30. Понятие сезонности и статистические приемы изучения сезонных колебаний.

При анализе колеблемости динамических ря­дов наряду с выделением случайных колебаний, возникает за­дача изучения периодических колебаний. Как правило, изучение периодических (сезонных) колебаний необходимо с целью ис­ключения их влияния на общую динамику для выявления чи­стой (случайной) колеблемости.

К сезонным относят все явления, ко­торые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т.е. более или ме­нее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Часто эти колебания могут быть не связаны со сменой времен го­да. К сезонным явлениям относят, например, потребление элект­роэнергии; неравномерность производственной деятельности в отраслях пищевой промышленности, связанных с переработкой сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом; спрос на многие виды продукции и услуги.

Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб национальной экономике, связанной с неравномерным ис­пользованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной за­грузкой транспорта, необходимостью создания резервов мощно­стей и т.д. Комплексное регулирование сезонных изменений по отдельным отраслям должно основываться на исследовании се­зонных отклонений.

Многие временные ряды имеют ярко выраженные сезонные компоненты, повторяющиеся с определенной периодичностью. Эта периодичность имеет место каждый год.

Если в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (в большую или в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов.

Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер, — возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.).

Задачи, которые необходимо решить в ходе исследования сезонности:

1. выявить наличие сезонности;

2. численно выразить сезонные колебания;

3. выделить факторы, вызывающие сезонные колебания;

4. оценить последствия сезонных колебаний;

5. провести математическое моделирование сезонности.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложе­ны различные методы. Наиболее простые и часто употребляемые из них:

1. метод абсолютных разностей;

2. метод относительных разностей;

3. построение индексов сезонности.

Первые два способа предполагают нахождение разностей фак­тических уровней и уровней, найденных при выявлении основ­ной тенденции развития (тренда).

Применяя способ абсолютных разностей, оперируют непос­редственно размерами этих разностей, а при использовании ме­тода относительных разностей, определяют отношение абсолют­ных размеров указанных разностей к выровненному уровню. При выявлении основной тенденции используют либо метод сколь­зящей средней, либо аналитическое выравнивание. В некоторых случаях в стационарных рядах можно пользоваться разностью фактических уровней и средним месячным уровнем за год. Использование данных за несколько лет связано с тем обстоятельством, что в отклоне­ниях по отдельным годам сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать случайные колебания, берут средние отклонения за несколько лет.

Для выделения сезонной волны надо определить средний уровень за каждый месяц по 3-5-летним дан­ным и общую среднюю за весь рас­сматриваемый период.

Общая средняя получается делением суммы уровней за все три-пять лет на 36 или 60 (общее число месяцев). Затем определяется абсолютное отклонение средних месячных показателей от общей средней.

Метод абсолютных разностей заключается в расчете месячных средних и общей средней с последующим их сравнением:

· y_t — средний месячный уровень показателя за три и более лет,

· y_c — среднемесячное значение показателя за все годы.

Если сезонность оценивается по данным за 3 года (36 месяцев), если за 5 лет (60 месяцев):

где: y_i — значение уровня динамического ряда. Величина и знак значений абсолютных отклонений определяют наличие сезонности.

В качестве показателя, характеризующего сезонную неравномерность, используется показатель относительного отклонения.

Метод относительных разностей является развитием метода абсолютных разностей. Для нахождения относительных разно­стей абсолютные отклонения делят на общую среднюю и выра­жают в процентах. По величине и знакам значений относительных отклонений можно судить о величине и силе влияния сезонного фактора.

Вместо относительных разностей за каждый месяц может быть вычислен индекс сезонности, который рассчитывается как отно­шение среднего уровня соответствующего месяца к общей сред­ней. Индекс сезонности рассчитывается:

· y_t — средний уровень показателя соответствующего месяца за три и более лет,

· y_c — среднемесячное (по году) значение показателя за все годы (общая средняя).

Рассчитанные значения индекса сезонности сравниваются со значением 100 %. Если индекс сезонности превышает 100 % — это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда и наоборот. Расчет индекса сезонности по данной формуле не учитывает наличие тренда. Выделение сезонной волны можно выполнить на основе по­строения аналитической модели проявления сезонных колебаний. Построение аналитической модели выявляет основной закон ко­леблемости данного временного ряда в связи с переходом от ме­сяца к месяцу и дает лишь среднюю характеристику внутригодичных колебаний.

Определим наличие сезонных колебаний для динамического ряда условного показателя:

Вывод: ярко выраженные сезонные колебания приходятся на июнь-июль, недоучет которых при составлении прогноза, может существенно исказить его.

31. Определение индекса, сфера применения индексов в статистике. Классификация индексов.

Индекс в статистике представляет собой относительный показатель, который характеризует изменение величины определенного явления во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном. Или индекс, это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления.

В отличие от обычных относительных величин, которые рассчитываются по изолированным признакам, индексы могут включать систему признаков. Это значит, что объектом индексного анализа являются и сложные по своей структуре явления.

Когда анализируются сопоставления уровней изучаемого явления во времени, то говорят об индексах динамики, в пространстве — о территориальных индексах и т. д.

Основным элементом индексного соотношения является индексируемая величина, которая представляет из себя значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения.

Применение индексов

1. Индексы применяются для расчета изменений сложных явлений. При помощи индексов можно охарактеризовать изменения во времени различных показателей, например численность населения, ВВП, себестоимость продукции, производительность труда и т. д. В качестве меры соизмерения разнородных продуктов используют цену, себестоимость и трудоемкость продукции др.

2. С помощью индексов определяют влияние отдельных фактов на изменение динамики сложного явления. Используя взаимосвязь индексов, можно определить, например, в какой степени выпуск продукции возрос за счет увеличения численности работников и в какой степени — за счет повышения производительности труда.

3. Индексы являются показателями сравнений как с прошлым периодом (сравнение во времени), так и с планами, прогнозами, нормативами и т. д.

Индексы классифицируют по трем признакам: по характеру изучаемых объектов; степени охвата элементов совокупности; методам расчета общих индексов.

По характеру индексируемых величин индексы разделяют на индексы количественных (объемных) и индексы качественных показателей.

Индексы количественных показателей _ индексы физического объема промышленной и сельскохозяйственной продукции, физического объема розничного товарооборота, национального дохода, потребления продаж иностранной валюты и др. Все индексируемые показатели этих индексов являются объемными, поскольку они характеризуют общий, суммарный размер (объем) того или иного явления и выражаются абсолютными величинами. При расчете таких индексов количества оцениваются в сопоставимых ценах.

Индексы качественных показателей _ индексы курса валют, цен, себестоимости, производительности труда, средней заработной платы, урожайности и др. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчете на количественно измеримую единицу совокупности: цена за единицу продукции, себестоимость единицы продукции, выработка в единицу времени (или на одного работника), заработная плата одного работника, урожайность с одного гектара и т.д. Такие показатели называются качественными. Они носят расчетный, вторичный характер. Качественные показатели измеряют не общий объем, а интенсивность, эффективность явления или процесса. Как правило, они являются либо средними, либо относительными величинами. Расчет таких индексов производится на базе одинаковых, неизменных количеств продукции.

Разделение индексов на индексы количественных и качественных показателей важно для методологии их расчета.

По степени охвата единиц совокупности индексы делятся на два класса: индивидуальные и общие.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления (например, изменение объёма выпуска телевизоров определенной марки, рост или падение цен на акции в каком-либо акционерном обществе и т.д.).

Общий индекс _ отражает изменение всех элементов сложного явления. При этом под сложным явлением понимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию (физический объем продукции, включающейразноименные товары, цены на разные группы продуктов и т.д.).

Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности).

Следует подчеркнуть, что статистика применяет, главным образом, общие и групповые индексы, которые и составляют особый прием исследования, именуемый индексным методом.

Индексный метод имеет свою терминологию и символику.

Каждая индексируемая величина имеет обозначение:

q _ количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении (от латинского слова quantitas);

р _ цена единицы товара (от латинского слова pretium);

pq _ общая стоимость произведенной продукции данного вида или общая стоимость проданных товаров данного вида (товарооборот, выручка);

Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, принято возле символа индекса внизу справа ставить подстрочные знаки: 1 _ для сравниваемых (текущих, отчетных) периодов и 0 _ для периодов, с которыми производится сравнение. Если изменение явлений изучается за ряд периодов, то каждый из периодов обозначается соответственноподстрочными знаками 0, 1, 2, 3 и т.д.

Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: iq _ индивидуальный индекс объема произведенной продукции отдельного вида или количества (объема) проданного товара данного вида, ip _ индивидуальный индекс цен и т.д.

Общий индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным знаком индексируемого показателя: например, Iр общий индекс цен; Iz _ общий индекс себестоимости.

Индивидуальные индексы относятся к одному элементу (явлению) и не требуют суммирования данных. Они представляют собой относительные величины динамики, выполнения обязательств, сравнения. Выбор базы сравнения определяется целью исследования.

Расчет индивидуальных индексов прост, их определяют вычислением отношения двух индексируемых величин:

а) ip = p 1 / p 0 _ индивидуальный индекс цен, где p 1, p 0 единицы продукции в текущем (отчетном) и базисном периодах;

б) iq = q 1 / q 0 _ индивидуальный индекс физического объема продукции.

С аналитической точки зрения индивидуальные индексы аналогичны темпам роста и характеризуют изменения индексируемой величины в текущем периоде по сравнению с базисным, т.е. во сколько раз она возросла (уменьшилась) или сколько процентов составляет ее рост (снижение). Значения индексов выражают в коэффициентах или процентах. Если из значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, т.е. (i _100), то полученная разность покажет, на сколько процентов возросла (уменьшилась) индексируемая величина.

Так, если в I квартале 2000 г. цена 1 л молока на рынке _ 15 руб., а во II квартале _ 17 руб., то i p = 17/15 = 1,13, или 113 %, т. е. цена на молоко повысилась на 13 %.

В экономических расчетах для измерения динамики сложного явления чаще всего используются общие индексы. Построение этих индексов и является содержанием индексной методологии.

Методика расчета общих индексов сложнее, чем индивидуальных, и различна в зависимости от характера индексируемых показателей, наличия исходных данных и целей исследования.

Любые общие индексы могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных. Последние в свою очередь делятся на средние арифметические и средние гармонические. Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава и индексы постоянного (фиксированного) состава. В индексах переменного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах постоянного состава _ на базе неизменной структуры явлений.

Агрегатный индекс является основной формой индекса. Агрегатным он называется потому, что его числитель и знаменатель представ ляют собой набор _ «агрегат» (от латинского aggregatus _ складываемый, суммируемый) непосредственно несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов -сумму произведений двух величин, одна из которых меняется(индексируется), а другая _ остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Вес индекса служит для соизмерения индексируемых величин.

32. Понятие индивидуальных и общих индексов, методика их расчета.

Индивидуальные индексы

Способы построения индексов зависят от содержания изучаемого явления, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования. В каждом индексе выделяют 3 элемента:

В каждом индексе выделяют 3 элемента:

§ индексируемый показатель — это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс

§ сравниваемый уровень — это тот уровень, который сравнивают с другим.

§ базисный уровень — это тот уровень, с которым производится сравнение.

Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения принимается за 100%. Обычно расчеты индексов производятся в форме коэффициентов с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0,001, в форме процентов — до десятых долей процента, т.е. до 0,1%.

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

§ i — символ индексируемого показателя — индекс, характеризующий изменение уровня элемента явления.

§ I — с подстрочным индексируемым показателем — для группы элементов или всей совокупности в целом.

§ q — количество проданных товаров или произведенной продукции в натуральном выражении

§ p — цена за единицу товара

§ z — себестоимость единицы продукции

§ w — производительность труда

§ T — отработанное время или численность работников

§ l — средняя заработная плата одного работника

§ 0 — базисный период

§ 1 — отчетный период

Исходные данные	Расчетные данные
Товары	Базисный период	Отчетный период	Товарооборот млн.руб	Индивидуальные индексы
Про-дано т.шт	Цена за 1 шт. т.руб	Про-дано т.шт	Цена за 1 шт. т.руб	Базисный период	Отчетный период	Отчетный период по ценам базисного периода	Физ. объема т-ооборота	Цен	Товаро-оборота
А					5=1*2	6=3*4	7=3*2	8=3:1	9=4:2	10=6:5
	q0	p0	q1	p1	q0 *p0	q1 *p1	q1 *p0
Телевизоры				3,3				0,9	1,1	0,99
Видео-магнито-фоны				1,8				1,250	0,9	1,125
Итого	х	х	х	х				0,9875	1,037	1,024

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельного элемента явления.

Поиск по сайту: