Выборочные моменты

Пусть ‑ выборка с теоретической функцией распределения с выборочной функцией распределения , ‑ некоторая непрерывная на R функция. Величина

называется выборочной характеристикой, соответствующей функции .

В частных случаях:

1) если , то мы имеем выборочное среднее

;

2) если , то

;

называется выборочным k -м моментом;

3) величина

называется выборочным центральным моментом k -го порядка;

4) при k =2 выборочный центральный момент второго порядка называется выборочной дисперсией

.

Она характеризует квадрат отклонения в среднем каждой величины выборки от выборочного среднего. Величина называется среднеквадратическим отклонением величин выборки от выборочного среднего.

ТЕОРЕМА 2.1.1 (ФИШЕРА). Пусть выборка из нормального распределения, т.е. . Выборочные среднее и дисперсия независимы, и при этом величина ‑ стандартная нормальная N (0,1), а имеет распределение, где , здесь ‑ независимые N (0,1) случайные величины.

Докажем только первую часть теоремы. Так как ‑ сумма нормальных случайных величин, то есть также нормальная случайная величина. Найдем математическое ожидание и дисперсию . Имеем

; .

Поиск по сайту: