Интервальный вариационный ряд

Пример 2. Нас интересует средний рост студентов СГУ. Для этого мы отбираем случайно 100 студентов и измеряем их рост. Получили 100 чисел: . Случайную величину X, равную величине роста студента, уже нельзя считать дискретной. Нужно найти среднее значение роста 100 студентов

и приближенно считать это значение средним ростом студентов СГУ. Можно упростить вычисления и составить таблицу, которая и будет называться интервальным вариационным рядом. Имеем выборку

Пусть см, см.

Число см называется вариационным размахом.

Интервал ‑ вариационный интервал. Для удобства мы можем немного сдвигать влево, а ‑ вправо. Удобно разделить на 5 частей, то есть разделить интервал на пять интервалов .

Составим таблицу

	[150,160)	[160,170)	[170,180)	[180,190)	[190,200]
ni
	0,04	0,23	0,48	0,17	0,08
	0,04	0,27	0,75	0,92

Здесь n_i ‑ частота , она равна числу студентов, рост которых попал в интервал . ‑ частость , ‑ накопленная частость.

Используя составленную таблицу, легко подсчитать

.

Конечно, вычисляя таким образом среднее значение роста, мы немного теряем точность вычисления, но немного упрощаем процедуру вычисления. Важно найти «золотую» середину: на какое количество интервалов необходимо разбить вариационный интервал, чтобы не слишком потерять точность вычислений и не усложнить сами вычисления. Для определения оптимальной длины h интервала используют формулу Стэрджеса:

.

В нашем примере . Мы разбили вариационный интервал на 5 интервалов, потеряв при этом точность вычисления, но упростив их.

2.2.3. Графическое изображение вариационных рядов

Очень удобно вариационные ряды, как дискретные, так и интервальные, изображать графически.

Пусть

‑ дискретный вариационный ряд.

Полигоном частот (или частостей) называется ломаная линия с вершинами в точках .

Гистограммой частот (или частостей) интервального вариационного ряда называется фигура, которая строится так: на оси OX откладывается вариационный интервал [ x _min, x _max], разделенный на интервалы . Над каждым интервалом выстраивают прямоугольник с высотой n_i (или ).

Примеры

Пример 1. Имеются следующие данные о дневном поступлении денежных средств во вклады по 30-ти учреждениям сберегательного банка (млн руб.):

205,2; 209,6; 222,6; 236,7; 62,0; 53,1; 172,1; 56,5; 52,5; 172,1; 56,5; 52,6; 46,6; 53,2; 30,1; 146,4; 18,1; 13,6; 89,8; 62,5; 46,3; 103,5; 73,3; 76,6; 73,0; 32,3; 199,6; 59,1; 71,2; 90,8.

Постройте интервальный ряд; изобразите гистограмму и полигон частот; найдите среднее ‑ коэффициент вариации.

Решение. Найдем вариационный интервал. ; .

‑ вариационный интервал. Для удобства считаем, что интервал есть вариационный. R =224 ‑ вариационный размах. По формуле Стэрджеса имеем

.

Интервальный ряд:

	[13,45)	[45,77)	[77,109)	[109,141)	[141,173)	[173,205]	[205,237]
ni

.

; ;

.

Пример 2. Имеются данные об установленной мощности 20 сахарных заводов (в 100 т.):

15, 16, 17, 13, 14, 12, 16, 14, 16, 18, 25, 17, 11, 3, 9, 10, 15, 4, 6, 28.

Вычислить среднюю мощность заводов: а) непосредственно; б) на основе построенного ряда. Изобразить гистограмму и полигон частот. Найти среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Решение. ; .

Разделим вариационный интервал [3,28] на 5 интервалов и построим вариационный ряд

	[3,8)	[8,13)	[13,18)	[18,23)	[23,28]
ni

а)

б) .

; . .

Пример 3. Произведено обследование 40 магазинов города, составлен интервальный вариационный ряд ( ‑ интервал товарооборота, млн. руб.).

	[100,150)	[150,200)	[200,250)	[250,300)	[300,350)	³350
ni

По данным ряда распределения определите средний товарооборот для магазина; среднее квадратическое отклонение S, коэффициент вариации V.

Изобразите полученный ряд графически в виде гистограммы распределения.

С вероятностью 0,996 определите возможные пределы величины среднего товарооборота для всех магазинов.

Решение.

.

Найдем доверительный интервал среднего товарооборота для магазинов. Он равен . Имеем . Число найдем по таблице из равенства: , отсюда . Окончательно

.

2.2.4. Статистическое изучение связи

Важнейшей задачей экономических исследований является выявление факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного анализа.

Главной задачей корреляционного анализа является оценка взаимосвязи между случайными величинами на основе выборочных данных.

Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями: функциональную и стохастическую. Функциональная зависимость подразумевает существование однозначного отображения множеств исследуемых величин, например, объем выпускаемой продукции Z зависит от производительности труда Y и затрат рабочего времени X: Z = f (X, Y).

При изучении реальных явлений сказывается влияние многих незначительных факторов, поэтому каждому значению аргумента X соответствует множество значений переменной Y. Такая неоднозначность есть проявление стохастической зависимости. Например, при изучении производительности труда Y в зависимости от среднегодовой стоимости основных фондов X каждому значению X соответствует множество значений Y и наоборот. В этом случае говорят о наличии стохастической связи.

Пусть X и Y ‑ две случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, MX = a ‑ математическое ожидание (среднее) X, MY = b ‑ математическое ожидание Y. Величина

называется корреляцией случайных величин X и Y. Пусть

‑ дисперсия X;

‑ дисперсия Y.

Величина

называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y. Коэффициент корреляции обладает свойством . Если случайные величины X и Y независимы, то

.

Таким образом, если X и Y независимы, то коэффициент корреляции r =0.

Если же или , то X и Y, будут зависимы, более того, это есть линейная функциональная зависимость: Y = kX + d, где k, d ‑ некоторые постоянные числа. Действительно, пусть Y = kX + d. Тогда ; , откуда . В этом случае коэффициент корреляции r равен

.

Итак, .

Положительный знак у r указывает на положительную корреляцию, то есть с увеличением X признак Y растет. Отрицательный знак свидетельствует об отрицательной корреляции. Чем ближе к 1, тем зависимость между признаками более существенная, чем ближе к нулю, тем признаки более независимы.

Пусть X и Y ‑ две дискретные случайные величины, принимающие значения x_i и y_i с вероятностями .

Можно считать, что X и Y ‑ две выборки из генеральных совокупностей

. Тогда ‑ средние X и Y. (с учетом повторений x_i и y_i), , , ‑ коэффициент корреляции.

Регрессионная зависимость ‑ это зависимость между средними значениями признаков X и Y. Уравнение линейной регрессии имеет вид

.

Пример. Экономист, изучая зависимость выборки Y (тыс. руб.) на одного работника торговли от величины товарооборота X (тыс. руб.) магазина обследовал за отчетный период 15 магазинов торга (n =15) и получил следующие данные:

Полагая, что между признаками X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной регрессии . Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Используя полученное уравнение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при тыс. рублей.

Решение.

Построим диаграмму рассеяния.

Вычислим числовые характеристики:

.

Запишем уравнение линейной регрессии

или

.

Изобразим эту прямую на графике.

При , получаем

Контрольная работа № 2.1

Задача 1. Постоянная величина измерена k раз с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены нормально со средним квадратическим отклонением s. Определить доверительный интервал для значения измеряемой величины при доверительной вероятности a, если среднее измерений равно .

Задача 2. Среднее значение дальности до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, . Средняя квадратическая ошибка прибора s. Найти с надежностью a доверительный интервал для оценки значения измеряемой величины.

Задача 3. В качестве оценки расстояния до навигационного знака принимают среднее значение n независимых измерений дальномерами. Измерения не содержат систематической ошибки, а случайные ошибки расположены нормально со среднеквадратическим отклонением s. Найти доверительный интервал для истинного расстояния с доверительной вероятностью a.

Задача 4. На основании 100 ответов было определено, что в среднем для производства детали требуется с. Предположив, что время для производства детали есть нормальная случайная величина со средним квадратическим отклонением s, определить доверительный интервал для истинного математического ожидания t с надежностью a.

Задача 5. По 15 независимым измерениям было определено среднее значение максимальной скорости самолета . Считая выборку нормальной со среднеквадратическим отклонением s найти доверительный интервал для истинного математического ожидания максимальной скорости самолета с надежностью a.

Номер		s	a	Задача
	k =25		0,99
	k =100		0,9
	k =16		0,95
	=91		0,9
	=110		0,99
	=75		0,9
	=1500		0,9
	=1200, n =25		0,9
	=2640, n =15		0,95
	=5,5		0,99
	=8,5		0,95
	=12		0,9
	=424,7		0,95
	=530		0,99
	=625		0,9
	=742		0,95
	k =50		0,9
	k =10		0,95
	k =20		0,99
	=720		0,9
	=850		0,95
	=710		0,99
	=2150		0,9
	=3100		0,95
	=2600		0,9
	=22		0,95
	=15		0,9
	=25		0,95
	=930		0,9
	=840		0,95

Контрольная работа № 2.2

В следующих задачах найти: а) среднее , среднеквадратическое отклонение S и коэффициент V; б) построить гистограмму и полигон частот.

1. Дан интервальный ряд испытания на разрыв 100 образцов дюралюминия ( ‑ предел прочности на разрыв, кг/мм²; ‑ число образцов).

	40‑42	42‑44	44‑46	46‑48	48‑50

2. Имеются следующие данные о величине товарооборота для 50 магазинов города ( ‑ товарооборот, млн руб.; ‑ число магазинов).

	100‑150	150‑200	200‑250	250‑300	300‑350	350‑400

3. Проведено выборочное обследование магазинов города. Имеются следующие данные о величине товарооборота для 50 магазинов города ( ‑ товарооборот, млн руб.; ‑ число магазинов).

	25‑75	75‑125	125‑175	175‑225	225‑275	275‑325

4. Даны результаты исследования грануляции партий порошка ( ‑ грануляции, мкм; ‑ число партий).

	0‑40	40‑80	80‑120	120‑160	160‑200

5. Даны результаты исследования 50 образцов на прочность напыленного слоя ( ‑ прочность, кг/мм²; ‑ число образцов).

	2,0‑2,2	2,2‑2,4	2,4‑2,6	2,6‑2,8	2,8‑3,0

6. Даны результаты измерения диаметров валиков ( ‑ диаметры валиков, мм; ‑ число валиков).

	9,4‑9,6	9,6‑9,8	9,8‑10,0	10,0‑10,2	10,2‑10,4

7. Имеются данные о среднесуточном пробеге 50 автомобилей ЗИЛ ( ‑ пробег, сотни км; ‑ число автомобилей).

	1,2‑1,6	1,6‑2,0	2,0‑2,4	2,4‑2,8	2,8‑3,2

8. Даны результаты измерения твердости (x_i, у.е.) сверл ( ‑ число сверл).

	20‑30	30‑40	40‑50	50‑60	60‑70

9. Даны результаты испытаний стойкости 100 фрез ( ‑ стойкость в час, кг/мм²; ‑ число фрез).

	32‑36	36‑40	40‑44	44‑48	48‑52

10. Даны результаты измерения толщины (x_i, мм) 50 смоляных прокладок ( ‑ число прокладок).

	0,24‑0,28	0,28‑0,32	0,32‑0,36	0,36‑0,40	0,40‑0,44

11. Даны результаты определения содержания фосфора в 100 чугунных образцах (x_i ‑ содержание в % фосфора; ‑ число образцов).

	0,10‑0,2	0,2‑0,3	0,3‑0,4	0,4‑0,5	0,5‑0,6

12. Имеются статистические данные о трудоемкости операции (x_i, мин) ремонта валика водяного насоса ( ‑ число валиков).

	0‑10	10‑20	20‑30	30‑40	40‑50

13. Даны результаты испытания стойкости (x_i, ч) 200 сверл ( ‑ число сверл).

	3,0‑3,2	3,2‑3,4	3,4‑3,6	3,6‑3,8	3,8‑4,0

14. Дан интервальный ряд испытания на разрыв 100 образцов дюралюминия ( ‑ предел прочности, кг/мм²; ‑ число образцов).

	20‑22	22‑24	24‑26	26‑28	28‑30

15. Имеются данные о величине товарооборота для 50 магазинов ( ‑ товарооборот, млн руб.; ‑ число магазинов).

	100‑140	140‑180	180‑220	220‑260	260‑300

16. Имеются следующие данные о величине товарооборота для 40 магазинов города ( ‑ товарооборот, усл. руб.; ‑ число магазинов):

	[100,150)	[150,200)	[200,250)	[250,300)	[300,350)	[350,400)

17. Имеются следующие данные о величине товарооборота для 50 магазинов города ( ‑ товарооборот, усл. руб.; ‑ число магазинов):

	[0,50)	[50,100)	[100,150)	[150,200)	[200,250)	[250,300)

18. В целях изучения норм расходования сырья при изготовлении продукции проведена выборка, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе ( ‑ число изделий):

Масса, г	19‑20	20‑21	21‑22	22‑23	23‑24	24‑25

19. В целях изучения урожайности подсолнечника проведено выборочное обследование 100 га посевов, в результате которого получены данные ( ‑ посевная площадь, га).

Урожайность, ц/га	11‑13	13‑15	15‑17	17‑19	19‑21

20. Даны результаты исследования грануляции партий порошка ( ‑ грануляции, мкм; ‑ число партий).

	[15,25)	[25,35)	[35,45)	[45,55)	[55,65)

21. В целях изучения норм расходования сырья при изготовлении продукции проведена выборка, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе ( ‑ масса изделия, г; ‑ число изделий).

	19‑21	21‑23	23‑25	25‑27	27‑29	29‑31

22. Проведено выборочное обследование магазинов города. Имеются следующие данные о величине товарооборота для 50 магазинов ( ‑ товарооборот, млн руб.; ‑ число магазинов).

	25‑75	75‑125	125‑175	175‑225	225‑275	275‑325

23. Проведено выборочное обследование 100 га посевов, в результате которых получены данные ( ‑ урожайность, ц/га; ‑ посевная площадь, га).

	21‑23	23‑25	25‑27	27‑29	29‑31

24. Даны результаты исследования 50 образцов на прочность напыленного слоя ( ‑ прочность, кг/мм²; ‑ число образцов).

	4,0‑4,2	4,2‑4,4	4,4‑4,6	4,6‑4,8	4,8‑5,0

25. Даны результаты измерения твердости (x_i, у.е.) сверл ( ‑ число сверл).

	20‑40	40‑60	60‑80	80‑100	100‑120

26. Даны результаты измерения диаметров валиков ( ‑ диаметры валиков, мм; ‑ число валиков).

	19,4‑19,6	19,6‑19,8	19,8‑20,0	20,0‑20,2	20,2‑20,4

27. Имеются данные о среднемесячном пробеге (x_i ‑ пробег, сотни км) 50 автомобилей ЗИЛ ( ‑ число автомобилей).

	40‑42	42‑44	44‑46	46‑48	48‑50

28. Даны результаты испытания стойкости 100 фрез ( ‑ стойкость, ч; ‑ число фрез).

	32‑34	34‑36	36‑38	38‑40	40‑42

29. Даны результаты измерения толщины (x_i, мм) 50 слюдяных прокладок ( ‑ число прокладок).

	0,32‑0,34	0,34‑0,36	0,36‑0,38	0,38‑0,40	0,40‑0,42

30. Имеются статистические данные о трудоемкости операции (x_i, мин) ремонта валика водяного насоса ( ‑ число валиков).

	6‑10	10‑14	14‑18	18‑22	22‑26

Контрольная работа № 2.3

Задача. Экономист, изучая зависимость выработки Y (у.е.) на одного работника торговли от величины товарооборота X (у.е.) магазина обследовал 10 магазинов торга (n =10) и получил следующие данные (см. табл.). Полагая, что между признаками X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции r_xy. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Используя полученное уравнение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение Y при X *.

Таблица

Поиск по сайту: