Нечеткая и лингвистическая логики

Данный раздел написан в соответствии с работой [б]. Детальное изложение применений нечеткой логики в конкретных практических задачах можно найти в [7,8 и др.].

Нечетким логическим выражением называется формула, в состав которой входят нечеткие предикаты. Нечетким предикатом назовем отображение Р^F: Хⁿ —>[0, 1], где X= {x}, n - любое натуральное число, принадлежащее отрезку [0, 1]. Число, которое предикат ставит в соответствие конкретному набору (), где , будем называть степенью принадлежности описываемого данным набором высказывания к множеству истинных высказываний или коротко - степенью истинности, Интерпретация степени истинности, как и для функции принадлежности, может быть следующей: степень истинности это вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР) назовет высказывание истинным.

Нечеткие логические выражения (или нечеткие формулы) отличаются от обычных наличием в их формулировках лингвистических и нечетких переменных и нечетких отношений (предикатов).

Приведем примеры.

1. Нечеткий предикат примерного равенства АЕ{х,у }: x» у, где x,у Î R¹.

2. Нечеткий предикат порядка GT{C,H): С > Н, где С, H -нечеткие числа.

Пусть m ₁ и m ₂ - степени истинности высказываний Р₁^F и Р₂^F (в которые превращаются нечеткие предикаты Р₁^F и Р₂^F после подстановки вместо переменных элементов множества X ). Тогда степень истинности сложного высказывания, образованного из Р₁^F и Р₂^F с помощью операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, может быть определена следующим образом:

(6.2.19)

(6.2.20)

(6.2.21)

Здесь операций Å и Ä соответствуют операциям объединения и пересечения нечетких множеств. При минимаксной интерпретации функции принадлежности

(6.2.22)

(6.2.23)

Нечеткой называется логика, в которой степень истинности высказываний определяется выражениями (6.2.19)- (6.2.23).

Степень истинности более сложных высказываний можно определить, последовательно сворачивая их с учетом старшинства операций и применяя формулы (6.2.19) - (6.2.21). Задание нечетких предикатов производится путем специального опроса ЛПР или с помощью нечетких алгоритмов. В рамках нечеткой логики обобщен известный метод резолюций.

Рассмотрим условный нечеткий оператор общего вида

если У то Ф иначе Е, (6.2.24)

где У - некоторое нечеткое логическое выражение (условие); Ф и Е - группы нечетких операторов (в частности, в эти группы могут входить и обычные четкие операторы). Результат выполнения условного оператора (1.24) определим выражением

У (если У то Ф иначе Е) = {m _y / V(Ф), (1 - m _y)/ V(E) } (6.2.25}

где У (x) — результат выполнения оператора x; m _y - степень истинности условия У.

Таким образом, результатом выполнения условного нечеткого оператора является нечеткое множество результатов выполнения соответствующих групп нечетких операторов. Содержательно определение (6.2.25) означает, что начинают выполняться обе группы нечетких операторов Ф и Е, однако каждая группа помечается своей меткой - степенью истинности.

При необходимости однозначного определения группы операторов продолжения можно воспользоваться двумя способами.

1. Задать порог степени истинности g ₀ Î (0, 1). Вычислить m _y.

Тогда

(6.2.26)

Здесь следует обратить внимание на значение g ₀ = 0,5. Оно относится к случаю, когда переход к выполнению группы нечетких операторов Ф осуществляется, если условие У более истинно, чем ложно. Увеличение g ₀ свыше 0,5 означает повышение требований к уровню определенности заключения об истинности У.

2. Вычислить m _у.. Разыграть равномерную распределенную на интервале (0, 1) случайную величину. Пусть полученное значение есть g ₀. Тогда искомый результат определяется выражением (6.2.26). Здесь m _y рассматривается как вероятность истинности условия У.

В общем случае степень истинности оказывается не числом изотрезка [0, І], а нечетким числом. Логика, в которой степени истинности являются нечеткими числами, называется лингвистической. Заметим, что иногда нечеткую логику называют многозначной, а лингвистическую логику - нечеткой.

Лингвистическая степень истинности (ее значения — нечеткие числа) появляется, в частности, при оценке истинности одних нечетких высказываний относительно других. Пусть имеются высказывания W: á X есть Fñ и Q: á X есть Gñ, где F и G - нечеткие подмножества U. Тогда истинность Q относительно W вычисляется как степень соответствия G и F [7]

где

Одним из элементов лингвистической логики является правило истинностной модификации утверждения, которое заключается в следующем. Пусть известно, что лингвистическая степень истинности высказывания Q: á X есть Gñ равна Т. Тогда справедливо высказывание W: á X есть Fñ, где

(6.2.27)

В лингвистической логике вводятся операции над лингвистическими истинностями, определяемые на основе формул (6.2.19) - (6.2.23) по принципу обобщения. Операции позволяют вычислять лингвистическую степень истинности составных логических выражений.

Отдельное направление работ в лингвистической логике связано с изучением построения выводов из нечетких посылок, включающих нечеткие кванторы типа “редко”, “очень часто” и т. п. В [8] предложено решение задачи нахождения квантора j _В по известным кванторам r _А и r _В в схеме вывода типа modus ponens

(6.2.28)

40 Американские, Канадские, Федеральные, Европейские и Единые критерии безопасности информационных технологий.

Основные понятия, требования, методы и средства проектирования и оценки системы информационной безопасности для ЭИС отражены в следующих основополагающих документах [12, 38-41]:

· Оранжевая книга Национального центра защиты компьютеров США (TCSEC);

· Гармонизированные критерии Европейских стран (ITSEC);

· Рекомендации Х.800;

· Концепция защиты от НСД Госкомиссии при Президенте РФ.

Знание критериев оценки информационной безопасности, изложенных в этих документах, способно помочь проектировщикам при выборе и комплектовании аппаратно-программной конфигурации ЭИС. Кроме того, в процессе эксплуатации администратор системы защиты информации должен ориентироваться на действия сертифицирующих органов, поскольку обслуживаемая система, скорее всего, время от времени будет претерпевать изменения, и нужно, во-первых, оценивать целесообразность модификаций и их последствия, во-вторых, соответствующим образом корректировать технологию пользования и администрирования системой. При этом целесообразно знать, на что обращают внимание при сертификации, поскольку это позволяет сконцентрироваться на анализе критически важных аспектов, повышая качество защиты.

Остановимся на кратком рассмотрении состава основных понятий и подходов к проектированию и оценке системы защиты информации в ЭИС, изложенных в этих документах.

Оранжевая книга Национального центра защиты компьютеров США (TCSEC)

Оранжевая книга - это название документа, который был впервые опубликован в августе 1983 г. в Министерстве обороны США. В этом документе дается пояснение понятия безопасная система, которая «управляет посредством соответствующих средств доступом к информации так, что только должным образом авторизованные лица или процессы, действующие от их имени, получают право читать, писать, создавать и удалять информацию». Очевидно, однако, что абсолютно безопасных систем не существует, и речь идет не о безопасных, а о надежных системах.

В Оранжевой книге надежная система определяется как система, использующая достаточные аппаратные и программные средства, чтобы обеспечить одновременную обработку информации разной степени секретности группой пользователей без нарушения прав доступа. Степень доверия, или надежность проектируемой или используемой системы защиты или ее компонентов, оценивается по двум основным критериям:

1) концепция безопасности;

2) гарантированность.

Поиск по сайту: