АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Тема №2 (время – 2 мин)

Читайте также:
  1. Тема №1 (время – 1 мин)
  2. Тема №11 (время – 3 мин)
  3. Тема №12 (время – 5 мин)
  4. Тема №14 (время – 1 мин)
  5. Тема №16 (время – 3 мин)
  6. Тема №17 (время – 2 мин)
  7. Тема №18 (время – 2 мин)
  8. Тема №19 (время – 2 мин)
  9. Тема №20 (время – 6 мин)
  10. Тема №21 (время – 2 мин)
  11. Тема №22 (время – 3 мин)

Тема: Использование информационных моделей (таблицы, диаграммы, графики).
Перебор вариантов, выбор лучшего по какому-то признаку.

Что нужно знать:

· в принципе, особых дополнительных знаний, кроме здравого смысла и умения перебирать варианты (не пропустив ни одного!) здесь, как правило, не требуется

· полезно знать, что такое граф (это набор вершин и соединяющих их ребер) и как он описывается в виде таблицы, хотя, как правило, все необходимые объяснения даны в формулировке задания

· чаще всего используется взвешенный граф, где с каждым ребром связано некоторое число (вес), оно может обозначать, например, расстояние между городами или стоимость перевозки

· рассмотрим граф (рисунок слева), в котором 5 вершин (A, B, C, D и E); он описывается таблицей, расположенной в центре; в ней, например, число 4 на пересечении строки В и столбца С означает, что, во-первых, есть ребро, соединяющее В и С, и во-вторых, вес этого ребра равен 4; пустая клетка на пересечении строки А и столбца В означает, что ребра из А в В нет

       
 
   
 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

 

· обратите внимание, что граф по заданной таблице (она еще называется весовой матрицей) может быть нарисован по-разному; например, той же таблице соответствует граф, показанный на рисунке справа от нее

· в приведенном примере матрица симметрична относительно главной диагонали; это может означать, например, что стоимости перевозки из В в С и обратно равны (это не всегда так)

· желательно научиться быстро (и правильно) строить граф по весовой матрице и наоборот

Пример задания:

Между населёнными пунктами A, B, C, D, E, F построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет.)

  A B C D E F
A            
B            
C            
D            
E            
F            

Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и F (при условии, что передвигаться можно только по построенным дорогам).

1) 9 2) 10 3) 11 4) 12

Решение (вариант 1, использование схемы):

1) построим граф – схему, соответствующую этой весовой матрице; из вершины А можно проехать в вершины B и C (длины путей соответственно 2 и 4):

2) для остальных вершин можно рассматривать только часть таблицы над главной диагональю, которая выделена серым цветом; все остальные рёбра уже были рассмотрены ранее

3) например, из вершины В можно проехать в вершины C и E (длины путей соответственно 1 и 7):

4) новые маршруты из С – в D и E (длины путей соответственно 3 и 4):

5) новый маршрут из D – в E (длина пути 3):

6) новый маршрут из E – в F (длина пути 2):

7) нужно проехать из А в F, по схеме видим, что в любой из таких маршрутов входит ребро EF длиной 2; таким образом, остается найти оптимальный маршрут из A в E

8) попробуем перечислить возможные маршруты из А в Е:

А – В – Е длина 9

А – В – С – Е длина 7

А – В – C – D – Е длина 9

А –C – Е длина 8

А –C – B – Е длина 12

А –C – D – Е длина 10

9) из перечисленных маршрутов кратчайший – A-B-C-E – имеет длину 7, таким образов общая длина кратчайшего маршрута A-B-C-E-F равна 7 + 2 = 9

10) таким образом, правильный ответ – 1.

Решение (вариант 2, с начала маршрута):

1) составим граф, который показывает, куда (и как) можно ехать из пункта А, рядом с дугами будем записывать увеличение пути, а рядом с названиями пунктов – общую длину пути от пункта A:

2) видно, что напрямую в пункт F из A не доехать

3) строим граф возможных путей дальше: определяем, куда можно ехать из B и C (конечно, не возвращаясь обратно); из B можно ехать только в A (обратно), в C и в E;

4) узел C уже есть на схеме, и оказывается, что короче ехать в него по маршруту A-B-C, чем напрямую A-C, длина «окольного» пути составляет 3 вместо 4 для «прямого»;
при движении по дороге B-E длина увеличивается на 7:

5) строим маршруты из пункта C; кроме A и B, из пункта C можно ехать в D (длина 3) и E (длина 4), причем кратчайший маршрут из A в E оказывается A-B-C-E (длина 7); «невыгодные» маршруты на схеме показывать не будем:

6) из пункта D, кроме как в С и E, ехать некуда; путь D-C – это возврат назад (нас не интересует), путь D-E тоже не интересует, поскольку он дает длину 6 + 3 = 9, а мы уже нашли, что в E из A можно доехать по маршруту длины 7

7) из пункта E можно ехать в F, длина полного маршрута 7 + 2 = 9

8) Ответ: 1

Решение (вариант 3, с конца маршрута):

1) можно точно так же начинать с пункта F и искать кратчайший маршрут до A; судя по таблице, из F можно ехать только в E:

 

2) из E ведут дороги в B, C и D

3) из B можно сразу попасть в A, длина пути будет равна 11:

4) из пункта C есть прямая дорога в A длиной 4, таким образом, существует маршрут длиной
6 + 4 = 10

5) кроме того, есть дорога C-B, которая дает маршрут F-E-C-B-A длиной 9

6) рассмотрение пути C-D не позволяет улучшить результат: оптимальный маршрут имеет длину 9

7) Ответ: 1

Возможные ловушки и проблемы: · можно не заметить, что маршруты, проходящие через большее число пунктов, оказываются короче (A-B-C короче, чем A-C, A-B-C-E короче, чем A-B-E)

Пример задания:

Между четырьмя местными аэропортами: ОКТЯБРЬ, БЕРЕГ, КРАСНЫЙ и СОСНОВО, ежедневно выполняются авиарейсы. Приведён фрагмент расписания перелётов между ними:

Аэропорт вылета Аэропорт прилета Время вылета Время прилета

СОСНОВО КРАСНЫЙ 06:20 08:35

КРАСНЫЙ ОКТЯБРЬ 10:25 12:35

ОКТЯБРЬ КРАСНЫЙ 11:45 13:30

БЕРЕГ СОСНОВО 12:15 14:25

СОСНОВО ОКТЯБРЬ 12:45 16:35

КРАСНЫЙ СОСНОВО 13:15 15:40

ОКТЯБРЬ СОСНОВО 13:40 17:25

ОКТЯБРЬ БЕРЕГ 15:30 17:15

СОСНОВО БЕРЕГ 17:35 19:30

БЕРЕГ ОКТЯБРЬ 19:40 21:55

Путешественник оказался в аэропорту ОКТЯБРЬ в полночь (0:00). Определите самое раннее время, когда он может попасть в аэропорт СОСНОВО.

1) 15:40 2) 16:35 3)17:15 4) 17:25

Решение:

8) сначала заметим, что есть прямой рейс из аэропорта ОКТЯБРЬ в СОСНОВО с прибытием в 17:25:

ОКТЯБРЬ СОСНОВО 13:40 17:25

9) посмотрим, сможет ли путешественник оказаться в СОСНОВО раньше этого времени, если полетит через другой аэропорт, с пересадкой

10) можно лететь, через КРАСНЫЙ, но, как следует из расписания,

ОКТЯБРЬ КРАСНЫЙ 11:45 13:30

КРАСНЫЙ СОСНОВО 13:15 15:40

путешественник не успеет на рейс КРАСНЫЙ – СОСНОВО, который улетает в 13:15, то есть на 15 минут раньше, чем в КРАСНЫЙ прилетает самолет ОКТЯБРЬ – КРАСНЫЙ

11) можно лететь через БЕРЕГ,

БЕРЕГ СОСНОВО 12:15 14:25

ОКТЯБРЬ БЕРЕГ 15:30 17:15

но рейс БЕРЕГ – СОСНОВО вылетает даже раньше, чем рейс ОКТЯБРЬ – БЕРЕГ, то есть, пересадка не получится

12) поскольку даже перелеты с одной пересадкой не стыкуются по времени, проверять варианты с двумя пересадками в данной задаче бессмысленно (хотя в других задачах они теоретически могут дать правильное решение)

13) таким образом, правильный ответ – 4 (прямой рейс).

Возможные ловушки и проблемы: · можно не заметить, что путешественник не успеет на пересадку в КРАСНОМ (неверный ответ 15:40) · можно перепутать аэропорты вылета и прилета (неверный ответ 16:35)

Решение (вариант 2, граф):

1) для решения можно построить граф, показывающий, куда может попасть путешественник из аэропорта ОКТЯБРЬ

2) из аэропорта ОКТЯБРЬ есть три рейса:

ОКТЯБРЬ СОСНОВО 13:40 17:25

ОКТЯБРЬ КРАСНЫЙ 11:45 13:30

ОКТЯБРЬ БЕРЕГ 15:30 17:15

3) построим граф, около каждого пункта запишем время прибытия

4) проверим, не будет ли быстрее лететь с пересадкой: рейс «КРАСНЫЙ-СОСНОВО» вылетает в 13:15, то есть, путешественник на него не успевает; он не успеет также и на рейс «БЕРЕГ-СОСНОВО», вылетающий в 12:15

5) таким образом, правильный ответ – 4 (прямой рейс).

Еще пример задания:

Грунтовая дорога проходит последовательно через населенные пункты А, B, С и D. При этом длина дороги между А и В равна 80 км, между В и С – 50 км, и между С и D – 10 км. Между А и С построили новое асфальтовое шоссе длиной 40 км. Оцените минимально возможное время движения велосипедиста из пункта А в пункт В, если его скорость по грунтовой дороге – 20 км/час, по шоссе – 40 км/час.

1) 1 час 2) 1,5 часа 3)3,5 часа 4) 4 часа

Решение:

1) нарисуем схему дорог, обозначив данные в виде дроби (расстояние в числителе, скорость движения по дороге – в знаменателе):

2) разделив числитель на знаменатель, получим время движения по каждой дороге

3) ехать из А в B можно

· напрямую, это займет 4 часа, или …

· через пункт C, это займет 1 час по шоссе (из А в С) и 2,5 часа по грунтовой дороге
(из В в С), всего 1 + 2,5 = 3,5 часа

4) таким образом, правильный ответ – 3.

Возможные ловушки и проблемы: · можно не заметить, что требуется найти минимальное время поездки именно в В, а не в С (неверный ответ 1 час) · можно ограничиться рассмотрением только прямого пути из А в В и таким образом получить неверный ответ 4 часа · можно неправильно нарисовать схему

 

Еще пример задания:

Таблица стоимости перевозок устроена следующим образом: числа, стоящие на пересечениях строк и столбцов таблиц, означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями. Если пересечение строки и столбца пусто, то станции не являются соседними. Укажите таблицу, для которой выполняется условие: «Минимальная стоимость проезда из А в B не больше 6». Стоимость проезда по маршруту складывается из стоимостей проезда между соответствующими соседними станциями.

1) 2) 3) 4)
  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

Решение (вариант 1):

1) нужно рассматривать все маршруты из А в В, как напрямую, так и через другие станции

2) рассмотрим таблицу 1:

· из верхней строки таблицы следует, что из А в В напрямую везти нельзя, только через C (стоимость перевозки А-С равна 3) или через D (стоимость перевозки из А в D равна 1)

  A B C D Е
A          

· предположим, что мы повезли через C; тогда из третьей строки видим, что из C можно ехать в В, и стоимость равна 4

  A B C D Е
C          

· таким образом общая стоимость перевозки из А через С в В равна 3 + 4 = 7

· кроме того, из С можно ехать не сразу в В, а сначала в Е:

  A B C D Е
C          

а затем из Е – в В (стоимость также 2),

  A B C D Е
Е          

так что общая стоимость этого маршрута равна 3 +2 + 4 = 7

· теперь предположим, что мы поехали из А в D (стоимость 1); из четвертой строки таблицы видим, что из D можно ехать только обратно в А, поэтому этим путем в В никак не попасть:

  A B C D Е
D          

· таким образом, для первой таблицы минимальная стоимость перевозки между А и В равна 7; заданное условие «не больше 6» не выполняется

3) аналогично рассмотрим вторую схему; возможные маршруты из А в В:

· , стоимость 7

· , стоимость 7

· таким образом, минимальная стоимость 7, условие не выполняется

4) для третьей таблицы:

· , стоимость 7

· , стоимость 6

· , стоимость 7

· таким образом, минимальная стоимость 6, условие выполняется

5) для четвертой:

· , стоимость 9

· , стоимость 8

· минимальная стоимость 8, условие не выполняется

6) условие «не больше 6» выполняется только для таблицы 3

7) таким образом, правильный ответ – 3.

Возможные ловушки и проблемы: · метод ненагляден, легко запутаться и пропустить решение с минимальной стоимостью

Решение (вариант 2, с рисованием схемы):

1) для каждой таблицы нарисуем соответствующую ей схему дорог, обозначив стоимость перевозки рядом с линиями, соединяющими соседние станции:

1) 2) 3) 4)
  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

  A B C D Е
A          
B          
C          
D          
Е          

 

2) теперь по схемам определяем кратчайшие маршруты для каждой таблицы:

1: или , стоимость 7

2: или , стоимость 7

3: , стоимость 6

4: , стоимость 8

8) условие «не больше 6» выполняется только для таблицы 3

9) таким образом, правильный ответ – 3.

Возможные ловушки и проблемы: · нужно внимательно строить схемы по таблицам, этот дополнительный переход (от табличных моделей к графическим) повышает наглядность, но добавляет еще одну возможность для ошибки · наглядность схемы зависит от того, как удачно вы выберете расположение ее узлов; один из подходов – сначала расставить все узлы равномерно на окружности, нарисовать все связи и посмотреть, как можно расположить узлы более удобно · по невнимательности можно пропустить решение с минимальной стоимостью

Еще пример задания [1]:

Между четырьмя местными аэропортами: ВОСТОРГ, ЗАРЯ, ОЗЕРНЫЙ и ГОРКА, ежедневно выполняются авиарейсы. Приведён фрагмент расписания перелётов между ними:

Аэропорт вылета Аэропорт прилета Время вылета Время прилета

ВОСТОРГ ГОРКА 16:15 18:30

ОЗЕРНЫЙ ЗАРЯ 13:40 15:50

ОЗЕРНЫЙ ВОСТОРГ 14:10 16:20

ГОРКА ОЗЕРНЫЙ 17:05 19:20

ВОСТОРГ ОЗЕРНЫЙ 11:15 13:20

ЗАРЯ ОЗЕРНЫЙ 16:20 18:25

ВОСТОРГ ЗАРЯ 14:00 16:15

ЗАРЯ ГОРКА 16:05 18:15

ГОРКА ЗАРЯ 14:10 16:25

ОЗЕРНЫЙ ГОРКА 18:35 19:50

Путешественник оказался в аэропорту ВОСТОРГ в полночь (0:00). Определите самое раннее время, когда он может попасть в аэропорт ГОРКА.

1) 16:15 2) 18:15 3)18:30 4) 19:50

Решение («обратный ход»):

1) сначала заметим, что есть прямой рейс из аэропорта ВОСТОРГ в ГОРКУ с прибытием в 18:30:

ВОСТОРГ ГОРКА 16:15 18:30

2) посмотрим, сможет ли путешественник оказаться в ГОРКЕ раньше этого времени, если полетит через другой аэропорт, с пересадкой; рассмотрим все остальные рейсы, который прибывают в аэропорт ГОРКА:

ЗАРЯ ГОРКА 16:05 18:15

ОЗЕРНЫЙ ГОРКА 18:35 19:50

3) это значит, что имеет смысл проверить только возможность перелета через аэропорт ЗАРЯ (через ОЗЕРНЫЙ явно не получится раньше, чем прямым рейсом); для этого нужно быть в ЗАРЕ не позже, чем в 16:05

4) смотрим, какие рейсы прибывают в аэропорт ЗАРЯ раньше, чем в 16:05:

ОЗЕРНЫЙ ЗАРЯ 13:40 15:50

5) дальше проверяем рейсы, который приходят в ОЗЕРНЫЙ раньше, чем в 13:40

ВОСТОРГ ОЗЕРНЫЙ 11:15 13:20

6) таким образом, мы «пришли» от конечного пункта к начальному, в обратном направлении

7) поэтому оптимальный маршрут

8) и правильный ответ – 2.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.025 сек.)