Тема №21 (время – 2 мин)

Тема: Кодирование чисел. Системы счисления.

Что нужно знать:

· принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления

· чтобы перевести число, скажем, 12345_N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:

4 3 2 1 0 ← разряды

1 2 3 4 5_N = 1·N⁴ + 2·N³ + 3·N² + 4·N¹ + 5·N⁰

· последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на

· две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

Пример задания:

Запись числа 67₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

83) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем

84) следовательно, основание N – это делитель числа 66

85) с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть

86) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:

87) видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие

88) таким образом, верный ответ – 3.

89) можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 67₁₀ = 2111₃

Еще пример задания:

Запись числа 381₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

1) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем

2) следовательно, основание N – это делитель числа

3) с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

4) неравенство дает (так как )

5) неравенство дает (так как )

6) таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

· 9, при получаем запись числа

· 14, при получаем запись числа

· 18, при получаем запись числа

7) наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)

8) таким образом, верный ответ – 18.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.

· в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 11₄ = 5

· потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

9) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

10) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

11) таким образом, верный ответ – 5, 21.

Возможные ловушки и проблемы: · выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие · остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему · найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1) переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 121₄, все интересующие нас числа не больше этого значения

2) из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
это 11₄ = 5 и 111₄ = 21

3) таким образом, верный ответ – 5, 21.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

· здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

Решение:

1) итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

(*)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

3) из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

4) в этой задаче есть только три таких делителя: и

5) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21.

Возможные ловушки и проблемы: · нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель не подходит (должно быть ) · числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

· неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1_N = k·N² + N¹ + N⁰ = k·N² + N + 1

· можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k₄ k₃ k₂ 1 1_N = k₄·N⁴ + k₃·N³ + k₂·N² + N¹ + N⁰

= k·N² + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

1) итак, нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

3) из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число

4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Еще пример задания:

Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

1) запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 17 = 32₅ .

2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

3) между 20₅ и 32₅ есть еще числа

21₅, 22₅, 23₅, 24₅, 30₅, 31₅.

4) в них 5 цифр 2 (в числе 22₅ – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

5) таким образом, верный ответ – 7.

Решение (вариант 2):

1) переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 11 = 21₅, 12 = 22₅, 13 = 23₅, 14 = 24₅, 15 = 30₅, 16 = 31₅, 17 = 32₅ .

2) считаем цифры 2 – получается 7 штук

3) таким образом, верный ответ – 7.

Еще пример задания:

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

1) обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид

2) вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

3) поскольку запись трехзначная, , поэтому

4) с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

5) объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству

6) учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

7) минимальное из этих значений – 4

8) таким образом, верный ответ – 4.

Решение (без подбора):

1) выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

2) найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

3) проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

4) таким образом, верный ответ – 4.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1):

1) нас интересуют числа от 1 до 30

2) сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

3) поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

4) рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:

все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

5) таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

6) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

7) общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

8) используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

9) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре):

1) нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел

2) поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)

3) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

4) выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 30₅ = 15, 31₅ = 16, 32₅ = 17, 33₅ = 18 и 34₅ = 19

5) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

1) Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то

а) , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

б) это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

5) получаем

а) при :

б) при : решения – не целые числа

в) при : и , второе решение не подходит

6) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1) запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем

2) таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

3) среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 68.

4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков (, …), т.е. все они больше

5) поэтому , следовательно,

6) по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием £ 3 цифры 3 нет)

7) итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

8) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.

Решение (1 способ):

1) Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то

а) , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

б) это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

5) получаем

а) при :

б) при : решения – не целые числа

в) при : и , второе решение не подходит

г) при : решения – не целые числа

6) таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1) запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем

2) таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

3) среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 42.

4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков (, …), т.е. все они больше

5) поэтому , следовательно,

6) по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому

7) итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)

8) переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):

9) таким образом, верный ответ: 6, 42.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение:

1) Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

2) Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23_x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.

3) Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300_x, где . При минимальном основании () оно равно , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

4) На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что .

5) Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому

6) Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить

7) Минимальное будет при : , а при получается

8) Таким образом, верный ответ: 6.

Еще пример задания:

Найти сумму восьмеричных чисел 17₈ +170₈ +1700₈ +...+1700000₈, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение:

1) Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:

17₈ + 170₈ = 207₈

17₈ + 170₈ + 1700₈ = 2107₈

17₈ + 170₈ + 1700₈ + 17000₈ = 21107₈

17₈ + 170₈ + 1700₈ + 17000₈ + 170000₈ = 211107₈

17₈ + 170₈ + 1700₈ + 17000₈ + 170000₈ + 1700000₈ = 2111107₈

2) Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):

10001001001001000111₂

3) Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры

10001001001001000111₂

8 9 2 4 7

4) Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.

Еще пример задания:

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225_x = 405_y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

1) Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .

2) Очевидно, что , однако это не очень нам поможет.

3) Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные .

4) Для и нужных решений нет, а для получаем

так что .

5) Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8.

Еще пример задания:

Запись числа 30₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение (1 способ, подбор):

1) запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10

2) это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9

3) переводим:

30 = 11110₂ = 1010₃ = …

4) дальше можно не переводить, поскольку запись 1010₃ удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры

5) можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию

6) Ответ: 3.

Решение (2 способ, неравенства):

1) запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть

2) первая часть двойного неравенства дает (в целых числах)

3) вторая часть неравенства дает (в целых числах)

4) объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3

5) заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр

6) Ответ: 3.

Поиск по сайту: