Тема №22 (время – 3 мин)

Тема: Графы. Поиск путей

Что нужно знать:

· если в город R можно приехать только из городов X, Y, и Z, то число различных путей из города A в город R равно сумме числа различных путей проезда из A в X, из A в Y и из A в Z, то есть

,

где обозначает число путей из вершины A в некоторую вершину Q

· число путей конечно, если в графе нет циклов – замкнутых путей

Пример задания:

На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

Решение (1 вариант, подстановки):

38) начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К

39) будем обозначать через N_X количество различных путей из города А в город X

40) общее число путей обозначим через N

41) по схеме видно, что N_Б = N_Г = 1

42) очевидно, что если в город X можно приехать только из Y, Z, то N_X = N_Y + N­_Z, то есть нужно сложить число путей, ведущих из A во все города, откуда можно приехать в город X

43) поскольку в K можно приехать из Е, Д, Ж или И, поэтому

N = N­_К = N_Д + N_Е + N_Ж + N_И

44) в город И можно приехать только из Д, поэтому N_И = N_Д

45) в город Ж можно приехать только из Е и В, поэтому

N­_Ж = N_Е + N_В

46) подставляем результаты пп. 6 и 7 в формулу п. 5:

N = N_В + 2N_Е + 2N_Д

47) в город Д можно приехать только из Б и В, поэтому

N­_Д = N_Б + N_В

так что

N = 2N_Б + 3N_В + 2N_Е

48) в город Е можно приехать только из Г, поэтому N­_Е = N_Г так что

N = 2N_Б + 3N_В + 2N_Г

49) по схеме видно, что N_Б = N_Г = 1, кроме того, N_В = 1 + N­_Б + N_Г = 3

50) окончательно N = 2N_Б + 3N_В + 2N_Г = 2·1 + 3·3 + 2·1 = 13

51) Ответ: 13.

Решение (2 вариант, удобная форма записи):

1) начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К

2) записываем для каждой вершины, из каких вершин можно в нее попасть

К ИДЖЕ

И Д

Ж ВЕ

Е Г

Д БВ

Г А

В АБГ

Б А

3) теперь для удобства «обратного хода» вершины можно отсортировать так[17], чтобы сначала шли все вершины, в которые можно доехать только из начальной точки А:

Б А

Г А

затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из уже добавленных в список (и из исходной точки):

В АБГ

Е Г

далее добавляем все вершины, куда можно доехать из А, Б, Г, В и Е:

Д БВ

Ж ВЕ

на следующем шаге добавляем вершину И

И Д

и, наконец, конечную. вершину

К ИДЖЕ

именно в таком порядке мы и будем вычислять количество путей для каждой вершины

4) теперь идем по полученному списку вершин, полагая, что количество вариантов попасть в вершину равно суммарному количеству вариантов попасть в ее непосредственных предшественников.

N_Б = 1, N_Г = 1

N_В = 1+1+1 = 3, N_Е = 1

N_Д = 1+3 = 4, N_Ж = 3 + 1 = 4

N_И = 4,

N = N_К = 4 + 4 + 4 + 1 = 13

5) заметим, что вершины можно и не сортировать специально, а просто выбирать возможный порядок вычисления: проверять, какие значения известны и какие можно рассчитать с их помощью на следующем шаге

6) Ответ: 13.

Решение (3 вариант, перебор вершин по алфавиту):

1) Запишем вершины в алфавитном порядке и для каждой из них определим, из каких вершин можно в нее попасть

Б А

В АБГ

Г А

Д БВ

Е Г

Ж ВЕ

И Д

К ИДЖЕ

2) теперь определяем количество путей; сначала ставим 1 для тех вершин, в которые можно проехать только из начальной (А):

3) затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из уже добавленных в список (и из исходной точки):

4) следующий шаг

5) и последние 2 шага

6) Ответ: 13.

Решение (4 вариант, перебор всех путей с начала, А. Яфарова):

1) запишем все вершины, в которые есть прямой путь из вершины A: Б, В и Г; получается три начальных отрезка:

АБ, АВ, АГ

2) рассмотрим маршрут АБ: из Б можно ехать в В и Д, поэтому получаем два маршрута:

АБ В, АБ Д