Умножь на 3

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – утраивает его.

Программа для Утроителя – это последовательность команд.

Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 20?

Ответ обоснуйте.

Решение (1 способ, составление таблицы):

131) заметим, что при выполнении любой из команд число увеличивается (не может уменьшаться)

132) начнем с простых случаев, с которых будем начинать вычисления: для чисел 1 и 2, меньших, чем 3, существует только одна программа, состоящая только из команд сложения; если через обозначить количество разных программ для получения числа N из 1, то .

133) теперь рассмотрим общий случай, чтобы построить рекуррентную формулу, связывающую с предыдущими элементами последовательности , то есть с решениями таких же задач для меньших N

134) если число N не делится на 3, то оно могло быть получено только последней операцией сложения, поэтому

135) если N делится на 3, то последней командой может быть как сложение, так и умножение

136) поэтому для получения нужно сложить (количество программ с последней командой сложения) и (количество программ с последней командой умножения). В итоге получаем:

если N не делится на 3:

если N делится на 3:

137) остается заполнить таблицу для всех значений от 1 до N:

N

138) Заметим, что количество вариантов меняется только в тех столбцах, где N делится на 3, поэтому из всей таблицы можно оставить только эти столбцы:

N

139) заданное число 20 попадает в последний интервал (от 18 до 21), поэтому …

140) ответ – 12.

Решение (2 способ, подстановка – вычисления по формулам «с конца»):

1) п. 1-6 выполняются так же, как и при первом способе; главная задача – получить рекуррентную формулу:

если N не делится на 3:

если N делится на 3:

с начальными условиями

2) начинаем с заданного конечного числа 20; применяем первую формулу (), пока не дойдем до числа, делящегося на 3 (это 18):

3) далее применяем вторую формулу ():

4) применяем первую формулу для 17:

5) применяем вторую формулу для обоих слагаемых:

где учтено, что

6) с помощью первой формулы переходим в правой части к числам, делящимся на 3:

а затем применяем вторую формулу для каждого слагаемого

7) снова используем первую формулу

а затем – вторую:

8) и еще раз

9) ответ – 12.

Решение (3 способ, О.В. Шецова, лицей № 6, г. Дубна):

1) будем составлять таблицу из трех столбцов: в первом записывается получаемое число от 1 до 20, во втором – какой последней командой может быть получено это число, а в третьем вычисляем количество различных программ для получения этого числа из 1

2) очевидно, что число 1 может быть получено с помощью одной единственной (пустой) программы:

3) число 2 не делится на 3, поэтому его можно получить только командой сложения (+1), значит, количество программ для 2 совпадает с количеством программ для 1:

4) число 3 делится на 3, поэтому его можно получить с помощью двух команд: +1 (из 2) и *3 (из 1):

Число	Как можно получить?	Количество программ
		1
	+1	1
	+1 *3	1 + 1 = 2

5) числа 4 и 5 не делятся на 3, поэтому их можно получить только с помощью команды +1, а число 6 может быть получено двумя командами:

Число	Как можно получить?	Количество программ
	+1	1
	+1 *3	1 + 1 = 2
	+1	2
	+1	2
	+1 *3	2 + 1 = 3

6) следующая группа – 7, 8 (не делятся на 3) и 9 (делится на 3):

Число	Как можно получить?	Количество программ
	+1
	+1 *3	1 + 1 = 2
	+1
	+1
	+1 *3	2 + 1 = 3
	+1
	+1
	+1 *3	3 + 2 = 5

7) далее – 10, 11 и 12:

Число	Как можно получить?	Количество программ
	+1
	+1 *3	1 + 1 = 2
	+1	2
	+1
	+1 *3	2 + 1 = 3
	+1
	+1
	+1 *3	3 + 2 = 5
	+1	5
	+1	5
	+1 *3	5 + 2 = 7

8) и так далее, вот полностью заполненная таблица (до конечного числа 20):

Число	Как можно получить?	Количество программ
	+1
	+1 *3	1 + 1 = 2
	+1
	+1	2
	+1 *3	2 + 1 = 3
	+1
	+1
	+1 *3	3 + 2 = 5
	+1
	+1
	+1 *3	5 + 2 = 7
	+1
	+1
	+1 *3	7 + 2 = 9
	+1
	+1
	+1 *3	9 + 3 = 12
	+1
	+1

9) ответ – количество программ, с помощью которых можно получить число 20 из 1, – считываем из последней ячейки третьего столбца

10) ответ – 12.

Решение (4 способ, М.В. Кузнецова и её ученики, г. Новокузнецк):

1) пусть – искомое конечное число, количества программ получения числа

2) тогда для построения рекуррентной формулы определения , нужно знать 2 факта:

а) какой может быть последняя команда и сколько есть видов этого последнего действия?

б) для каждого «последнего» действия нужно знать число программ получения предыдущего числа, сумма этих количеств и есть искомое значение – число программ получения числа .

Например, общее количество программ получения числа 6 с помощью Утроителя равно , т.к. есть ДВА способа завершения программ получения этого значения: 6=5+1 и 6=2∙3.

3) число программ получения числа зависит от числа программ получения предыдущего значения, и что программы получения чисел, кратных 3-м могут завершаться 2-мя способами: или , а все остальные числа получают только первым способом: .

4) составим рекуррентную формулу для определения числа программ получения числа :

при имеем

если не кратно 3:

если делится на 3:

5) с помощью это формулы заполняем таблицу следующим образом:

– в первом столбце записываем все натуральные числа от 1 до заданного ;

– во втором столбце – числа, на единицу меньшие (из которых может быть получено последней операцией сложения с 1);

– в третьем столбце для чисел, кратных 3-м, записываем частное от деления числа, записанного в первом столбце, на 3 (из этого числа может быть получено последней операцией умножения на 3);

– в последнем столбце вычисляем , складывая соответствующие значения для тех строк, номера которых записаны во втором и третьем столбцах:

N	N-1	N/3	K(N)
1	–
2
			1+1=2
5
			2+1=3
			3 + 2=5
			5 + 2 = 7
			7 + 2 = 9
			9+3 = 12

6) ответ – 12.

Решение (5 способ, А. Сидоров):

1) основная идея – число программ, преобразующих начальное число 1 в конечное 20 с помощью заданных в условии команд, равно числу программ, преобразующих конечное число 20 в начальное 1 с помощью обратных команд: «вычти 1» и «раздели на 3»

2) будем строить «обратное дерево» – дерево всех способов преобразования конечного числа в начальное; это лучше (в сравнении с построением «прямого» дерева, от начального числа к конечному), потому что операция умножения необратима – каждое число можно умножить на 3, но не каждое можно разделить на 3; из-за этого сразу отбрасываются тупиковые ветви, не дающие новых решений

3) рисуем сокращенное дерево, в котором черные стрелки показывают действие первой команды («прибавь 1»), а красные – действие второй команды («умножь на 3»); красные стрелки подходят только к тем числам, которые делятся на 3:

4) чтобы получить количество программ для каждого числа из верхней строки, нужно сложить соответствующие количества программ для всех чисел из нижнего ряда, которые не больше данного (программы с умножением), и добавить 1 (программа, состоящая из одних сложений)

5) очевидно, что для получения 1 существует одна (пустая) программа; тогда для числа 2 тоже получается одна программа, а для числа 3 – две программы:

6) далее, для чисел 4 и 5 получаем 2 программы (после числа 3 нет «разветвлений» – подходящих красных стрелок), а для числа 6 – 3 программы, так как «подошло» еще одно разветвление (6 можно получить умножением 2 на 3), а для числа 2 мы уже подсчитали количество программ – оно равно 1:

7) находить число программ для следующих чисел нам уже не понадобится, потому что при умножении на 3 они дают числа, большие, чем заданное конечное число 20

8) запишем полученные результаты в самой нижней строке для всех множителей от 1 до 6:

9) теперь остается сложить все числа в скобках в нижнем ряду (количество программ с командами умножения) и добавить 1 (одна программа, состоящая только из команд сложения):

3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 12

10) ответ – 12.

Возможные проблемы: · неверно определенные начальные условия · неверно выведенная рекуррентная формула · ошибки при заполнении таблицы (невнимательность) · второй способ (подстановка), как правило, приводит к бОльшему количеству вычислений; конечно, можно отдельно выписывать все полученные ранее значения , но тогда мы фактически придем к табличному методу

Еще пример задания:

У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:

Поиск по сайту: