Тема №27 (время – 6 мин)

Тема: Анализ программы с подпрограммами.

Что нужно знать:

· функция – это вспомогательный алгоритм, который возвращает некоторое значение–результат

· в Паскале функция располагается выше основной программы и оформляется следующим образом (вместо многоточия могут быть любые операторы):

function F(x: integer):integer;

Begin

...

F:= < результат функции >

end;

· в заголовке функции записывают имя функции, в скобках – список параметров, далее через двоеточие – тип возвращаемого значения; в приведенном примере функция F принимает один целый параметр, к которому внутри функции нужно обращаться по имени x, и возвращает целое число

· результат функции записывается в специальную переменную, имя которой совпадает с именем функции; объявлять эту переменную не нужно

· если параметров несколько, для каждого из них указывают тип:

function F(x: integer; y: integer):integer;

· если несколько соседних параметров имеют одинаковый тип, можно их объединить в список:

function F(x, y: integer):integer;

· следующая программа ищет наименьшее значение функции F(x) на интервале [a,b], просматривая значения от a до b с шагом 1:

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do

if F(t) < R then begin

R:=F(t); M:=t;

end;

· цикл для поиска наибольшего значения выглядит точно так же, только знак < нужно заменить на знак >

· если функция представляет собой квадратный трехчлен вида , то абсцисса, соответствующая точке минимума, вычисляется по формуле

этот результат можно получить (вывести, если забыли), например, так:

§ в критической точке (точке минимума, точке максимума или точке перегиба) производная функции обращается в 0;

§ находим производную

§ приравниваем ее к нулю: .

· если квадратный трехчлен задан в виде , то абсцисса, соответствующая точке минимума, вычисляется по формуле

Пример задания:

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:

Var a,b,t,M,R:integer;

Function F(x:integer):integer;

Begin

F:=4*(x-1)*(x-3);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=20;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)<R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

Решение (способ 1, ручная прокрутка, перебор):

1) заметим, что в программе есть цикл, в котором переменная t принимает последовательно все целые значения в интервале от a до b:

for t:=a to b do begin

...

end;

2) до начала цикла в переменную M записывается значение a, а в переменную R – значение функции в точке a:

M:=a; R:=F(a);

3) внутри цикла есть условный оператор, в котором вычисляется значение функции F(t) и сравнивается со значением переменной R:

if (F(t)<R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

если новое значение функции меньше, чем значение R, в R записывается значение функции в точке t, а в переменной M запоминается само значение t (аргумент функции, соответствующий значению в R)

4) в результате анализа пп. 1-3 можно сделать вывод, что цикл ищет минимум функции F(t) на интервале от a до b, и после выполнения цикла в переменной M оказывается значение аргумента t, при котором функция достигает минимума на заданном интервале (здесь это интервал [-20, 20])

5) функция F вычисляет значение

F:=4*(x-1)*(x-3);

6) перебираем все значения t от a до b, и для каждого вычисляем соответствующее значение функции:

7) по таблице находим, что минимальное значение –4 достигается при t=2

8) таким образом, ответ: 2.

Решение (способ 2, математический анализ):

1) повторяя рассуждения пп. 1-5 из предыдущего способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.

2) запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:

3) график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум

4) найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции

5) таким образом, ответ: 2.

Решение (способ 3, математический анализ, свойства параболы):

1) повторяя рассуждения пп. 1-5 из первого способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.

2) заданная функция имеет корни в точках

3) график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх (коэффициент при равен 4 > 0), поэтому функция имеет минимум

4) парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, поэтому абсцисса вершины – это среднее арифметическое корней:

5) таким образом, ответ: 2.

Ещё пример задания:

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:

Var a,b,t,M,R:integer;

Function F(x:integer):integer;

Begin

F:=x*x + 4*x + 8;

end;

BEGIN

a:=-10; b:=10;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)> R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(R);

END.

Решение:

1) рассуждая так же, как и в предыдущем примере, можно показать, что программа ищет наибольшее значение функции F(t) на интервале от a до b

2) заметим, что выводится не абсцисса, а именно это найденное наибольшее з начение функции:

write(R);

3) график заданной функции – это парабола, ветви которой направлены вверх, то есть она имеет точку минимума, но не точку максимума

4) поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наибольшее

5) при t=-10 получаем F(t)=68

6) при t=10 получаем F(t)=148

7) таким образом, ответ: 148.

Еще пример задания (Л.А. Тумарина, г. Электросталь):

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:

Var a,b,t,M,R:integer;

Function F(x:integer):integer;

Begin

F:=4*(x-1)*(x-3);

end;

BEGIN

a:=-20; b:=0;

M:=a; R:=F(a);

for t:=a to b do begin

if (F(t)<R)then begin

M:=t;

R:=F(t);

end;

end;

write(M);

END.

Решение:

1) рассуждая так же, как и в примере 1, определяем, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.

2) запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:

3) график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум

4) найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции

8) однако это значение не входит в интервал [-20; 0], поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наименьшее; ответом будет соответствующее значение t.

9) при t=-20 получаем F(-20)=4*(-21)*(-23)=1932

10) при t=0 получаем F(0)= 4*(-1)*(-3)=12, это значение меньше, чем F(-20), поэтому минимум на заданном интервале достигается при t=0

5) таким образом, ответ: 0

Поиск по сайту: