Теоретичні відомості. Коливанням – це процес, який повторюється з часом

Коливанням – це процес, який повторюється з часом. В механіці прикладом коливань є коливальний рух маятників, який являє собою періодичне відхилення маятника від положення рівноваги то в один, то в протилежний бік. При цьому відбуваються також періодичні зміни швидкості, прискорення, кінетичної та потенціальної енергії маятника.

Коливання, які відбуваються тільки під дією внутрішніх сил коливальної системи, називаються вільними. Якщо при цьому в системі відсутні сили тертя, то енергія системи з часом не змінюється і коливання є незгасаючими.

Розглянемо вільні незгасаючі коливання фізичного маятника. Фізичним маятником називається тіло довільної форми, здатне здійснювати коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі ОО', яка не проходить через центр тяжіння цього тіла С (рис. 1).

Рис. 1.

При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає обертальний момент М сили тяжіння, який намагається повернути маятник до положення рівноваги:

,

де m - маса тіла, g - прискорення вільного падіння, l - відстань між точкою підвісу О та центром тяжіння С, α- кутове зміщення маятника. Знак “-“ вказує на те, що повертаючий момент напрямлений проти кутового переміщення α.

При малих кутах відхилення , тому обертаючий момент дорівнюватиме:

(1)

Якщо дією моментів сил тертя знехтувати, то з основного рівняння динаміки обертального руху:

, (2)

де І - момент інерції тіла відносно осі 00', а ε – кутове прискорення, яке дорівнює:

дістанемо рівняння руху фізичного маятника:

Запишемо це рівняння в іншій формі:

(3)

Величина має розмірність циклічної частоти в квадраті, тому введемо позначення:

(4)

Тоді остаточно дістанемо диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань фізичного маятника:

(5)

Розв'язком цього рівняння є функція

, (6)

де α(t) - кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги в довільний момент часу; α_m - амплітуда коливань, модуль максимального зміщення від положення рівноваги. Амплітуда вільних незгасаючих коливань визначається початковими умовами; ω₀ - власна циклічна частота, це кількість коливань за 2π секунд. Як видно з рівняння (4) власна частота визначається параметрами коливальної системи; величину, що стоїть під знаком косинуса називають фазою коливань:

,

де φ₀ - фаза коливань в початковий момент часу (початкова фаза).

Як видно з рівняння (6), вільні незгасаючі коливання фізичного маятника є періодичними і відбуваються за законом косинуса (синуса) тобто є, гармонічними. Період вільних незгасаючих коливань (час одного повного коливання) Т₀ визначається за формулою

, (7)

а з врахуванням (4) період малих вільних коливань фізичного маятника дорівнюватиме:

(8)

Графік вільних незгасаючих коливань представлений на рис. 2.

Поиск по сайту: