ПОНЯТИЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА

Кинематика занимается изучением движения жидкости без выяснения причин, которые его вызвали. Принципиально можно использовать два подхода к составлению картины течения. Первый из них был предложен Лагранжем, и в нем изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени отмечаются ее координаты , и . Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т. е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц.

По методу Эйлера индивидуальное поведение отдельных частиц не принимается во внимание, а изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства x, y, z. Математически обычно задаются зависимости, связывающие три проекции скорости на прямоугольные оси координат (в необходимых случаях также давление и плотность) с пространственными координатами и временем.

Установившимся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т. е.

.

Если это условие не соблюдается и параметры в точке меняются с течением времени: , движение называют неустановившимся.

Уравнение неразрывности (или сплошности) выражает один из фундаментальных законов природы – закон сохранения массы применительно к жидкой среде.

Рассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S. Выделим элемент поверхности dS. Пусть – орт внешней нормали, а – вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости – (знак «минус», т. к. направления и противоположны). Масса, проникающая в объем за единицу времени через всю поверхность:

.

С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом поскольку выделенный объем является постоянным, то изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности. Скорость изменения массы можно представить как

,

либо с учетом того, что , можно записать

.

Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т. е.

.

Применяя преобразование Гаусса–Остроградского, получим

либо .

Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии

.

Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при его выводе не вводилось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движения сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости и газа.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При установившемся движении все производные по времени равны нулю, что следует из самого определения этого понятия, поэтому

.

Если движение установившееся и жидкость несжимаема, т. е. , то

.

Или в проекциях на декартовы оси координат

.

Определим физический смысл этого соотношения. Частные производные , , характеризуют скорость относительного удлинения жидкой частицы. Если этот процесс происходит одновременно вдоль всех координатных осей, то он приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Ясно, что если частица удлиняется вдоль осей x и y, то она должна укорачиваться относительно оси z. Другими словами, хотя бы одна из производных, входящих в это уравнение, должна быть отрицательна, т. к. в противном случае соотношение не может быть равным нулю.

Следует отметить, что поле, в котором , носит название соленоидального.

Линией тока называется кривая, обладающая тем свойством, что в данный момент времени векторы скоростей в любой ее точке по направлению совпадают с касательными.

В векторной форме это условие может быть записано как , т. е. векторное произведение должно быть равно ну-лю. Это, как известно, может быть записано в виде определителя

Раскрывая определитель, получаем дифференциальное уравнение линии тока в виде

.

Под траекторией понимается след, оставленный движущейся частицей в пространстве. Дифференциальное уравнение траектории:

Из сопоставления уравнений линий тока и траекторий следует, что в общем случае, т. е. при неустановившемся движении, линии тока и траектории не совпадают.

В движущейся жидкости наметим бесконечно малый замкнутый контур и через все точки его периметра проведем линии тока.

Образованная таким образом поверхность носит название трубки либо поверхности тока. Ясно также, что поскольку контур намечался в пространстве, занятом движущейся жидкостью, то какая-то ее часть должна находиться и внутри поверхности тока.

Под струйкой тока понимают жидкость, протекающую внутри трубки тока. Если вспомнить, что границами боковой поверхности трубки тока являются линии тока, т. е. линии, к которым векторы скоростей частиц жидкости касательны в любой данный момент времени, то ясно, что ни одна частица не может проникнуть извне в струйку либо, наоборот, выйти из нее через боковую поверхность, т. е. поверхность трубки тока непроницаема. Действительно, вектор скорости частицы, пытающейся, например, проникнуть в струйку извне, должен быть ориентирован к ее границе под каким-то углом, но на самой границе трубки тока он ориентирован по касательной, что следует из самого определения линии тока.

Поперечное сечение струйки тока мало, поэтому можно допустить, что в пределах сечения все частицы движутся с одинаковыми скоростями либо, что то же самое, эпюра скоростей в сечении представляет собой цилиндр для трехмерной струйки или прямоугольник – для двумерной.

На рисунке показаны эпюры для двух произвольно выбранных сечений плоской струйки. Заметим лишь, что равномерность распределения скоростей в сечении, т. е. движение с одной и той же скоростью всех находящихся в нем частиц, вовсе не означает, что в другом сечении эти скорости должны быть такими же, т. е. не обязательно, чтобы . Совокупность струек, заполняющих поперечное сечение канала конечных размеров, образует поток.

Важное свойство струйки тока, говорящее о том, что боковая поверхность непроницаема для частиц, по существу выражает закон сохранения секундной массы. Действительно, если через сечение 1–1 в единицу времени вошла масса , то за то же время через сечение 2–2 должна выйти масса , равная . Массу жидкости, протекающую через поперечное сечение струйки в единицу времени, называют элементарным массовым расходом и обозначают .

Легко убедиться в том, что

,

где dA – площадь поперечного сечения струйки.

Действительно, выражая параметры, входящие в это соотношение, через единицы физических величин, получаем .

Из сказанного выше следует, что

.

Это и есть уравнение неразрывности для струйки. Если жидкость несжимаема, т. е. , то и

.

При этом произведение udA выражает элементарный объемный расход dQ.

Запишем выражение для проекции ускорения жидкой частицы на какую-либо координатную ось, например, x. Имеем

.

Для нахождения этой величины следует учесть, что проекция скорости (как и две другие проекции) является функцией координат x, y, z, которые, в свою очередь, в общем случае зависят от времени t. Представим величину в виде полного дифференциала:

.

Разделим обе части на dt. Имея в виду, что , и , получим

.

Аналогичные соотношения можно записать и для двух других компонент.

Выражение носит название полной либо субстанциональной производной. Установим смысл величин, входящих в нее. Производная – проекция локального ускорения, которое характеризует изменение скорости во времени в данной точке пространства. Локальное ускорение обусловлено нестационарностью процесса, из чего следует, что если движение стационарное (установившееся), то локальное ускорение отсутствует, т. е. . Три остальных члена – проекции конвективного ускорения, которое возникает при переходе частицы от одной точки пространства к другой, оно обусловлено неравномерностью скоростного поля, т. е. неравномерным распределением скоростей.

Поиск по сайту: