УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Вывод этого основополагающего уравнения механики жидкости можно осуществить, рассматривая динамическое равновесие элементарной жидкой частицы, движущейся вдоль линии тока. Произведем преобразование системы дифференциальных уравнений Эйлера, приведенных в предыдущем разделе, путем умножения каждой из входящих в него проекций соответственно на dx, dy и dz и почленно их сложим аналогично тому, как это делалось ранее в гидростатике. Это преобразование уже рассматривалось в случае равновесия жидкости, находящейся в поле сил тяжести, и левая часть уравнений, как раньше, преобразуется в соотношение

.

Поэтому рассмотрим лишь правую часть. Имеем

.

С другой стороны, очевидно, что

; ; ,

и мы можем записать

.

Таким образом, после подстановки в исходное уравнение получим

либо

.

Это выражение называют уравнением Бернулли в дифференциальной форме. При условии (для несжимаемой жидкости) интегрирование его дает

Очевидно, для обеспечения математической строгости следовало бы доказать, что вдоль линии тока проекции вектора скорости могут быть представлены не как частные, а как полные производные от соответствующих координат частицы. Но при этом вывод уравнения Бернулли утратил бы свою простоту.

Поиск по сайту: