АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Глава 3. Метод наименьших квадратов

Читайте также:
  1. I. Естественные методы
  2. II Методика виконання курсової роботи.
  3. II. ПОРЯДОК И МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА
  4. II. Учебно-методический блок
  5. III Барьерный метод
  6. IV. ІНФОРМАЦІЙНО-МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
  7. Q.1.2. Поляризационно-оптический метод исследования кристаллов.
  8. Taken: , 1Глава 4.
  9. Taken: , 1Глава 6.
  10. V. Учебно-методическое обеспечение курса
  11. V. Учебно-методическое обеспечение курса
  12. V2: МЕТОДЫ ГИСТОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Очевидно, система линейных уравнений не всегда имеет непустое множество решений. В связи с этим (и не только) возникает вопрос о существовании такого вектора , при котором левая часть минимально отличалась бы от правой части .

Определение. Пусть даны матрица А размера , вектор-столбец и вектор-столбец . Тогда вектор называется ошибкой вектора и обозначается через Квадрат длины вектора будем называть модулем ошибки вектора .

Теорема 3.1. Пусть дана матрица А размерности с линейно независимыми столбцами и вектор- столбец . Тогда найдется единственный вектор-столбец , для которого модуль ошибки минимален, причем .

Доказательство. Предположим, что матрица вырождена. Тогда в силу следствия 1.3 однородная система линейных уравнений имеет некоторое ненулевое решение т.е. . Домножим обе части этого равенства слева на , получим теперь воспользуемся теоремой 1.12, замечанием 1.1 и задачей и теоремой 1.14:

,

т.е. (см. задачу 1 в п. 1.3). А это возможно только в случае линейной зависимости столбцов матрицы (следствие 1.3).

Итак, доказана невырожденность матрицы . Но тогда для найдется обратная матрица (следствие 2.2). Обозначим через вектор . Осталось доказать, что для любого вектора-столбца , не равного , верно неравенство .

Обозначим через . Тогда, применяя теорему 1.12, получаем:

т.е. и ортогональны. Из равенства вытекает, что Используя теорему 1.1 и ортогональность векторов и , получаем:

Поскольку , то может равняться нулю только в случае линейной зависимости столбцов матрицы А. Так как столбцы этой матрицы линейно независимы, то . Отсюда следует последнее неравенство. Теорема доказана.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)