Обратные матрицы. Задачи
1. Доказать следствие 2.1.
2. Доказать следствие 2.2.
3. Доказать следствия 2.3 -2.5.
4. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице А: а) переставить -ю и -ю строки; б) -ю строку умножить на отличное от нуля число ; в) к -й строке прибавить -ю строку, умноженную на число ? Ответить на этот же вопрос в случае аналогичных преобразований столбцов матрицы А.
5. Пусть А и В – невырожденные матрицы одного порядка. Тогда матрица также невырожденная, причем .
6. Пусть А – квадратная невырожденная матрица. Тогда
.
7. Решить систему линейных уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы):
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) ,
ж) ,
з) .
Ответы, указания, решения.
4. Ответы. а) в матрице поменяются местами -й и -й столбцы; б) -й столбец в матрице умножится на ; в) из -го столбца вычтется -й столбец, умноженный на .
5. Решение. , поэтому матрица - обратная для АВ. Это означает также, что АВ – невырожденная (в силу следствия 3.2).
6. Решение. Так как (см. теорему 1.12), то обратная для .
7. з). Решение. Перепишем систему в матрично-векторном виде:
где
Согласно следствию 2.5, если матрица А невырожденная, то решением этой системы будет вектор-столбец . Поэтому воспользуемся практическим правилом проверки невырожденности матрицы и построения обратной для нее матрицы (в случае утвердительного ответа), описанным ранее:
,
откуда
.
Тогда искомое решение определяется равенством:
.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | Поиск по сайту:
|