Матрицы. Математическая часть

Определение. Матрицей М размера называется прямоугольная таблица с строками и столбцами, состоящая из чисел, называемых элементами матрицы М. Элемент матрицы, расположенный на пересечении -ой строки и -ого столбца обозначается через ; будем говорить, что этот элемент находится на позиции . Матрица размера называется квадратной матрицей порядка . Единичной матрицей Е порядка называется квадратная матрица порядка , в которой элементы равны 1, б а остальные элементы (, , ) равны 0.

Говорят, что элементы , , образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка .

Любую строку или столбец матрицы размера можно рассматривать как вектор пространства или соответственно. При необходимости они будут считаться таковыми без особых оговорок. Однако при этом следует различать, является ли вектор строкой, которая будет называться вектор-строкой, или столбцом, который будем называть вектор-столбцом. Вектор-строка – это матрица размера , а вектор-столбец – матрица размера . Там, где не будет ясно из контекста, какие векторы имеются в виду, это будет уточняться дополнительно.

Операции над матрицами:

- сложить (вычесть) две матрицы одинакового размера означает сложить (вычесть) их элементы, стоящие на одинаковых позициях; при этом получится матрица того же размера;

- умножить матрицу на скаляр означает умножить на это число все элементы матрицы;

- транспонировать матрицу означает преобразовать ее в матрицу , строки которой являются столбцами матрицы с теми же номерами;

- умножить матрицу размера на матрицу размера означает получить матрицу размера , элемент которой равен скалярному произведению -ой строки матрицы и -го столбца матрицы , т.е.

Замечание 1.1 Для упрощения записи знак умножения в произведении матриц будем опускать.

Теорема 1.11. Пусть , , , - матрицы, - квадратная матрица. Тогда , , , , (где - единичная матрица) при условии, что размеры матриц согласуются во всех операциях сложения и умножения.

Доказательство проведем для последних двух утверждений теоремы. Для доказательства равенства матриц и достаточно сравнит их элементы на одинаковых позициях. На позиции в матрице находится некоторое число , равное скалярному произведению -ой строки матрицы и -ого столбца . Но -я строка матрицы - это -й столбец матрицы , а -й столбец матрицы - это -я строка матрицы . Поэтому число равно скалярному произведению -й строки матрицы и -го столбца матрицы , т.е. число находится на позиции матрицы или на позиции матрицы . Свойство доказано.

Для доказательства равенства рассмотрим число на позиции матрицы : если -я строка в есть , то

,

так как в -м столбце матрицы именно -я координата равна 1, а остальные координаты равны 0. Итак, доказано, что . Равенство доказывается аналогично.

Замечание 1.2. Если рассматривать векторы и как матрицы, то скалярное произведение можно записать следующим образом:

Пусть задана система линейных уравнений с переменными, имеющая следующий вид:

Здесь называются коэффициентами при переменных, - свободными членами, . Если использовать обозначения

, , ,

то систему (1.1) можно записать в матричном виде: . Если использовать обозначения:

то систему (1.1) можно записать тремя способами в векторном и векторно-матричном виде:

или

Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали.

Теорема 1.12. След матрицы равен следу матрицы .

Доказательство. Обозначим через и элементы матриц и соответственно. Элемент главной диагонали матрицы , находясь на позиции , является скалярным произведением -й строки матрицы и -го столбца матрицы :

.

Поэтому след матрицы равен . Переставим знаки суммирования:

Нетрудно видеть, что выражение в скобках есть элемент матрицы на позиции . Поэтому последнее выражение является следом матрицы .

Теорема 1.13. Пусть , и , где А, В, С – квадратные матрицы порядка , , , - квадратные матрицы порядка , , , - квадратные матрицы порядка (), , , - матрицы размера , , , матрицы порядка . Тогда , , , .

Доказательство. Пусть

и .

Рассмотрим элемент матрицы . Тогда:

.

Но сумма в первой скобке – это элемент произведения , находящийся на позиции , а сумма во второй скобке – это элемент произведения , находящийся на той же позиции. Следовательно, . Аналогично доказываются и другие равенства.

Теорема 1.14. Пусть А – матрица размера . Тогда .

Доказательство. Используем замечание 1.2 и теорему 1.12:

, что и требовалось доказать.

Поиск по сайту: