АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Приведение уравнений кривых и поверхностей

Читайте также:
  1. Аналитическое решение дифференциальных уравнений
  2. Брак при обработке конических поверхностей и меры его предупреждения
  3. Ввод сплайнов (лекальных кривых)
  4. ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ИЗДЕЛИЙ МЕБЕЛИ
  5. Виды поверхностей изделий мебели
  6. Визуализация дифференциальных параметров кривых
  7. Визуализация решения систем линейных уравнений
  8. Высокотемпературная коррозия поверхностей нагрева
  9. Вычисление коэффициентов условных уравнений координат
  10. ЗАГРЯЗНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАГРЕВА
  11. Задание 1. Описать процесс подготовки деревянных поверхностей под оштукатуривание.
  12. Задание 2. Ремонт оштукатуренных поверхностей.

второго порядка к каноническому вид у

 

Теорема 7.7. Для любой квадратичной формы на действительном евклидовом пространстве в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид.

► Пусть на евклидовом пространстве задана квадратичная форма k. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

, (7.7)

и пусть А – матрица квадратичной формы k в этом базисе. Тогда А – симметричная, а значит, существует такая ортогональная матрица Т, что матрица – диагональная. Так как матрица Т ортогональная, то по теореме 7.1 в существует ортонормированный базис

(7.8)

такой, что Т – матрица перехода от (7.7) к (7.8). Если Ã – матрица квадратичной формы k в базисе (7.8), то = = = = А'. Матрица А' – диагональная и поэтому в базисе (7.8) квадратичная форма k имеет канонический вид.◄

Замечание. Диагональными элементами матрицы А' являются собственные значения матрицы А.

Определение. Линейное невырожденное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональна.

Теорема 7.8. Любую действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования переменных (иная формулировка теоремы 7.7).

Следствия. 1. Для того чтобы действительная квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения ее матрицы были положительными.

2.Для любой поверхности второго порядка в трехмерном пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.

Для любой кривой второго порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задается каноническим уравнением.

Пример. Определить вид кривой второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту кривую, если исходное уравнение кривой имеет вид

.

▼1. Приводим к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:

, , .

Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору в силу симметричности матрицы А и что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора и в одной из них поменяв знак. Итак, . Чтобы получить ортонормированный базис, векторы и нормируем, т.е. делим каждый на его длину: , . Канонический вид квадратичной формы выглядит так: . Матрица перехода (она же матрица линейного невырожденного преобразования переменных) имеет вид

.

2. По матрице T записываем линейное невырожденное преобразование переменных:

(7.9)

Подставляем выражение переменных по формулам (7.9) в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, свободный член не меняется, а чтобы узнать, как изменится линейная часть, следует непосредственно подставить формулы (7.9) в уравнение, раскрыть скобки и привести подобные.

Замечание. На самом деле коэффициенты линейной части есть линейные комбинации координат векторов и с теми же коэффициентами, что и в исходном уравнении. Например, коэффициент при вычисляется так: , а при – так: .

Таким образом, после преобразования (7.9) приходим к уравнению

,

которое равносильно следующему:

.

3. Преобразуем это уравнение:

и применим к нему преобразование параллельного переноса:

После этого уравнение кривой принимает вид

,

откуда видно, что исследуемая кривая – парабола.

 
 

4. Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. При преобразовании параллельного переноса начало координат переходит в точку , в которой . Значит, . Можно узнать координаты точки и в исходной системе координат. Для этого значения и подставим в формулы (7.9): . Итак, . Направление новых осей удобнее определять не по векторам и , а по векторам и , так как они имеют целочисленные координаты (рис. 7.1).

Как видите, приведение к каноническому виду даже кривой второго порядка – занятие достаточно трудоемкое. Попробуем его упростить хотя бы в некоторых случаях.

Лемма 7.2. Для того чтобы начало координат было центром симметрии кривой второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при первых степенях переменных в ее уравнении равнялись нулю.

►Обозначим рассматриваемую кривую второго порядка. Пусть ее уравнение имеет вид:

. (7.10)

Необходимость.

{ О – центр симметрии кривой Ф}

. (7.11)

Рассмотрим два случая.

а) Кривая Ф не является сдвоенной прямой. Тогда на ней можно выбрать две точки и , не лежащие с началом координат на одной прямой. Из (7.11) получаем

(7.12)

причем . Поэтому система (7.12) имеет единственное решение .

б) Ф – сдвоенная прямая . Очевидно, утверждение истинно.

Достаточность очевидна, так как уравнение кривой Ф имеет вид

.◄

Обозначим левую часть уравнения (7.10). Тогда

(7.13)

Теорема 7.9. Для того чтобы точка была центром симметрии кривой второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе линейных уравнений

(7.14)

►Пусть – центр симметрии кривой Ф с уравнением (7.10). Применим преобразование параллельного переноса , которое помещает начало координат в точку . При этом преобразовании уравнение (7.10) изменится так:

Последнее уравнение равносильно следующему:

. (7.15)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)