Изометрии

Определение. Линейный оператор f евклидова пространства Е в себя называется изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если

(7.18)

Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются унитарными операторами, а в действительном – ортогональными.

Теорема 7.10. Если l – собственное значение изометрии, то |l|=1.

►Пусть – собственный вектор изометрии , l – его собственное значение. Положим . Тогда: (7.18) .◄

Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.

Теорема 7.11. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.

► Необходимость очевидна.

Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть f сохраняет длины векторов, т. е. . Тогда :

. (7.19)

Так как (7.19) справедливо для всех комплексных l, то при l = 1 получаем . Если же , то (7.19) принимает вид , и, таким образом, утверждение доказано.◄

Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.

Теорема 7.12. Изометрия любой ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор некоторый ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис, то f – изометрия.

►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из n векторов, которая в силу теоремы 6.4 линейно независима и поэтому в n -мерном линейном пространстве является базисом.

Обратно. Пусть линейный оператор некоторый ортонормированный базис

(7.20)

пространства переводит в ортонормированный базис

, (7.21)

и пусть и – произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов и можно разложить по базису (7.20): Так как базисы (7.20) и (7.21) ортонормированны, то . Значит,

и, таким образом, f – изометрия.◄

Теорема 7.13. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы .

►На основании теоремы 7.2 любой линейный оператор имеет сопряженный. Тогда:

{ f – изометрия}

[лемма 7.1] { }. (7.22)

Если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то – матрица оператора в том же базисе, и из (7.22) для изометрии получаем

. (7.23)

Из (7.23) вытекает, во-первых, что матрица изометрии невырождена, значит, любая изометрия – невырожденный линейный оператор, причем . Во-вторых, для того чтобы линейный оператор f комплексного евклидова пространства в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была унитарной. Для того чтобы линейный оператор f действительного евклидова пространства в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была ортогональной.◄

Поиск по сайту: