Высказывание. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, разность, импликация, эквиваленция высказываний, таблицы высказываний

Зачет по математике (10 класс 1 полугодие 2013/2014 учебный год).

Вопрос 1.

Высказывание. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, разность, импликация, эквиваленция высказываний, таблицы высказываний.

Высказыванием называют утверждение (повествовательное предложение), о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно, или указать способ, с помощью которого можно это сделать. Например, про утверждение «2х2=4» можно сказать, что оно истинно, про утверждение «2х2=5» можно сказать, что оно ложно, а для утверждения «31 августа 2020 года в Москве будет дождь», можно указать способ, как определить его истинность – дождаться в Москве 31 августа 2020 года. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Ни одно высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.

Операции над высказываниями

1. Операция отрицания.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Построим отрицание высказывания «число 3,14». Это истинное высказывание. Тогда его отрицание будет следующим: « 3,14» – ложное высказывание.

2. Операция конъюнкции.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В»), которое будет истинным в том и только в том случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0°С до +7°С» и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0°С до +7°С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0°С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.

3. Операция дизъюнкции.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Высказывание «4<5 или 4=5» является истинным. Так как высказывание «4<5» – истинное, а высказывание «4=5» – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5».

4. Операция импликации.

Импликацией высказываний А и В называется высказывание АÞВ («если А, то В», «из А следует В»), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В импликации АÞВ высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.

Дано высказывание «Если число 12 делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Так как высказывание А – «число 12 делится на 2» истинно, высказывание В – «число 12 делится на 3» также истинно, то и импликация АÞВ истинна.

Дано высказывание «Если число 12 делится на 23, то оно делится на 666». Так как высказывание А – ложно, то вся импликация АÞВ истинна.

5. Эквиваленция высказываний.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое АÛВ (А;В) (читается «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В»), которое истинно тогда, когда А и В одновременно истинны или оба ложны.

6. Разностью (антиимпликацией) высказываний А÷В называется высказывание, которое истинно тогда, когда А истинно, а В – ложно, и ложное во всех остальных случаях. Разность А÷В равносильна А

С помощью таблиц истинности эти операции можно определить так: (обозначим истину – 1, а ложь – 0)

A

A

B

А В

A

B

А В

A

B

АÞВ

A

B

АÛВ

A

B

А÷В

Вопрос 2.

Формулы алгебры высказываний: коммутативность, ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции (доказательство одной из них); законы поглощения для высказываний (доказательство одной из них).

Равносильные высказывания. Два высказывания равны (равносильны), если у них совпадают таблицы истинности

Формулы алгебры высказываний.

Коммутативность:

а) конъюнкции

б) дизъюнкции

Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.

A	B	А В	В А	А В	В А

Из совпадения 3 и 4 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 5 и 6 столбцов следует справедливость равенства

Ассоциативность:

а) конъюнкции

б) дизъюнкции

Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.

A	B	С	А В	(А В) С	В С	А (В С)	А В	(А В) С	В С	А (В С)

Из совпадения 5 и 7 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 9 и 11 столбцов следует справедливость равенства

Законы поглощения

а) конъюнкции

б) дизъюнкции

Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.

A	B	А В	А (А В)	А В	А (А В)

Из совпадения 4 и 1 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 6 и 1 столбцов следует справедливость равенства

Вопрос 3.

Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции, дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции (доказательство одной из них). Законы де Моргана для высказываний (доказательство одного из них).

Равносильные высказывания. два высказывания равны, если у них совпадают таблицы истинности

Формулы алгебры высказываний.

а) Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.

A	B	С	В С	А (В С)	А В	А С	(А В) (А С)

Из совпадения 5 и 8 столбцов следует справедливость данного равенства.

б) Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.

A	B	С	В С	А (В С)	А В	А С	(А В) (А С)

Из совпадения 5 и 8 столбцов следует справедливость данного равенства.

Законы де Моргана

а)

б)

Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.

A	B	ØА	ØВ	А В	Ø(А В)	(ØА) (ØВ)	А В	Ø(А В)	(ØА) (ØВ)

Из совпадения 6 и 7 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 9 и 10 столбцов следует справедливость равенства

Вопрос 4.

Поиск по сайту: