Дополнение, пересечение, объединение, разность, симметрическая разность множеств. Диаграммы Эйлера-Венна

Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих, по крайней мере, одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Обозначают и читают "объединение A и B ". .

Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Обозначают и читают "пересечение A и B ". .

Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A \ B и читают "разность A и B ". .

Симметрической разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B, объединенное с множеством элементов, принадлежащих B и не принадлежащих А. Обозначают A B. .

Дополнением множества A называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A. Обозначают и читают "дополнение A ". .

Пример 1. Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением - отрезок [2, 3], разностью A \ B - полуинтервал [1, 2), а разностью B \ A - полуинтервал (3, 4].

Круги Эйлера — принятый в логике способ наглядного изображения отношений между множествами, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером (1707–1783).

Условно принято, что круг наглядно изображает одно какое-нибудь множество. Поэтому каждый элемент множества можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга.

Операции над множествами наглядно иллюстрируются с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

				A \ B
A U A a	B A A B A B A B

Вопрос 6.

Основные формулы алгебры множеств (коммутативность, ассоциативность пересечения и объединения множеств (доказательство одного из них); законы поглощения для множеств (доказательство одного из них)).

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:

Коммутативность
а) объединения: б) пересечения: .

Ассоциативность
а) объединения: б) пересечения: .

Чтобы доказать равенство двух множеств А и В, надо убедиться, что каждый элемент множества Асодержится в множествеВ, и наоборот.

Докажем ассоциативность объединения.

1. Пусть х – любой элемент множества . Тогда, по определению объединения, или .

Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .

В том случае, если , то так же по определению объединения или или .

Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .

Если , то по определению объединения .

Случай, когда и , сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества содержится в множестве .

2. Докажем, что каждый элемент множества содержится в множестве .

Пусть х – любой элемент множества . Тогда, по определению объединения, или

Если , то по определению объединения или или .

Если , то по определению объединения .

Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .

Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .

Случай, когда и , сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества содержится в множестве .

Законы поглощения

а) б) .

Докажем что

1. Пусть х – любой элемент множества . Тогда, по определению объединения, или , т.е. .

2. Пусть х – любой элемент множества А. Тогда, по определению объединения, .

Вопрос 7.

Дистрибутивность объединения относительно пересечения множеств, дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств (доказательство одного из них); законы де Моргана для множеств (доказательство одного из них).

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:

Дистрибутивность:
а) дистрибутивность объединения относительно пересечения:

Для доказательства равенства, докажем, что если x принадлежит множеству записанному в левой части равенства, то он принадлежит множеству стоящему в правой части равенства, и наоборот.

Доказательство:

1. Если , то, по определению объединения, или , или .

Если , то, по определению объединения, и , т.е., по определению пересечения, .
Если , то, по определению пересечения, и , значит, по определению объединения, и , т.е., по определению пересечения .

Значит, если , то .

2. Если , то, по определению пересечения, и . Тогда, по определению объединения, или а) , или б) и , или в) и , или г) и .

Т.к. в пунктах б) и в) содержится , то достаточно рассмотреть пункты а) и г).

Если , то .

Если и , то , а значит .

Значит, если , то .

б) дистрибутивность пересечения относительно объединения: .

Законы де Моргана
а) б) .

Докажем

1. Пусть , тогда, по определению дополнения, , тогда по определению объединения, , и , тогда, по определению дополнения и , значит, по определению пересечения, .

2. Пусть , тогда, по определению пересечения, и , тогда по определению дополнения, , или , тогда, по определению объединения , значит, по определению дополнения, .

Вопрос 8.

Поиск по сайту: