 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Формулы приведения, двойных углов (с выводом)
Формулы приведения.
Формулы позволяющие заменить выражение вида 
, где 
, а 
на 
, где 
называются формулами приведения.
Из курса геометрии известно, что
, 
, 
, 
.
Т.к. тангенс и котангенс имеют период 
, то 
и 
Используя формулы 
, 
, 
и 
, получаем:
.
.
Формулы двойного угла.
Подставляя 
вместо 
в формулы 
, 
, 
, 
, 
и 
получаем формулы двойного угла:
Учитывая, что 
и 
, получаем ещё два выражения для косинуса двойного угла: 
и 
.
Вопрос 26.
Формулы понижения степени, половинных углов, универсальная подстановка (с выводом).
Используя формулы для косинуса двойного угла: 
и 
, делая замену 
получим формулы понижения степени:
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Универсальной подстановкой называется выражение тригонометрической функции через тангенс половинного угла.
; 
; 
; 
.
Докажем их.
Примечание. Формулы верны, если 
.
Пример: Найти 
и 
, если 
Вопрос 27.
Формулы преобразования произведений в сумму (с выводом).
Используя формулы 
, и складывая и вычитая их почленно, получаем две формулы преобразования произведения в сумму:
и 
Или
и 
Используя формулы , и 
складывая их почленно, получаем ещё одну формулу преобразования произведения в сумму:
, или 
.
полученные формулы называются формулами преобразование произведения в сумму.
Вопрос 28.
Формулы преобразования сумм в произведение (с выводом).
Используя формулу 
получаем 
, обозначив 
и 
, получаем 
и 
. Подставив эти значения в равенство получаем 
.
Аналогично, используя формулу , получаем 
.
Аналогично, используя формулу , получаем 
и 
.
Полученные формулы называются формулами преобразования суммы в произведение.
Вопрос 29.
Функции 
их свойства.
Определение синуса, свойства и график функции 
.
| x |
| y |
P 
|
 x
|
называется ордината y точки P конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол 
с осью абсцисс.
Функция синус
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.
Функция нечетная: sin(− x)=−sin x для всех х Î R.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:
sin(x +2 πk) = sin x, где k Î Z для всех х Î R.
sin x = 0 при x = πk, k Î Z.
sin x > 0 (положительная) для всех x Î (2πk, π+2π · k), k Î Z.
sin x < 0 (отрицательная) для всех xÎ (π+2π·k, 2π+2π·k), k Î Z.
| Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: | 
| |
| Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: | 
| |
| Наибольшее значение функции sin x = 1в точках: | 
| |
| Наименьшее значение функции sin x = −1в точках: | 
| |
Определение косинуса, свойства и график функции 
.
| x |
| y |
| P
|
| x
|
называется абсцисса x точки P конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол с осью абсцисс.
Функция косинус
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.
Функция четная: cos(− x)=cos x для всех х Î R.
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:
cos(x +2 πk) = cos x, где k Î Z для всех х Î R.
| cos x = 0при | 
| |||||
| cos x > 0 для всех | 
| |||||
| cos x < 0для всех | 
| |||||
| Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: | 
| |||||
| Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: | 
| |||||
| Наибольшее значение функции cos x = 1в точках: | 
| |||||
| Наименьшее значение функции cos x = −1в точках: | 
| |||||
Определение тангенса, свойства и график функции 
.
| x |
| y |
| P
|
| x
|
называется отношение ординаты y к абсциссе x точки P конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол с осью абсцисс.
Функция тангенс
Область определения функции — множествовсех действительных чисел, кроме 
Множество значений функции — все числа, т.е. тангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: tg(− x)=−tg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x + π·k) = tg x, k Î Z для всех х из области определения.
| tg x = 0при | 
| ||
| tg x > 0 для всех | 
| ||
| tg x < 0для всех | 
| ||
| Функция возрастает на промежутках: | 
| ||
Определение котангенса, свойства и график функции 
.
| x |
| y |
| P
|
| x
|
называется отношение абсциссы x к ординате y точки P конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол с осью абсцисс.
Функция котангенс
Область определения функции — множествовсех действительных чисел, кроме чисел 
Множество значений функции — все числа, т.е. котангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: ctg(− x)=−ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+ π·k)=ctg x, k Î Z для всех х из области определения.
| сtg x = 0при |
| |||
| сtg x > 0 для всех |
| |||
| сtg x < 0для всех |
| |||
| Функция убываетна каждом из промежутков | 
| |||
Вопрос 30.
Поиск по сайту: