Ограниченность функций, наибольшее и наименьшее значение функций, экстремумы функций

Пусть функция определена на множестве X и Y – область её значений.

Функция будет называться ограниченной сверху, если существует такое число М, что , выполняется условие (другое определение верно, что )

Функция будет называться ограниченной снизу, если существует такое число М, что , выполняется условие (другое определение верно, что ).

Функция будет называться ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существует такое число М, что , выполняется условие (другое определение верно, что )

Если для выполняется условие, что верно , то называется наибольшим значением функции (другое определение верно, что ).

Если для выполняется условие, что верно , то называется наименьшим значением функции (другое определение верно, что ).

Примечание наибольшее и наименьшее значения функция может принимать в нескольких точках, в том числе и в бесконечном количестве точек.

Точка называется точкой экстремума, если существует такое положительное число , что выполняется одно из условии или .

В первом случае точка называется точкой минимума, а во втором – точкой максимума.

Соответственно, экстремумом функции будет называться значение функции в точке экстремума, т.е. . Причем значение в точке минимума будет называться минимумом (локальным минимумом) функции, а значение в точке максимума будет называться максимумом (локальным максимумом) функции.

Таким образом, точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Геометрически – около точек экстремума график функции выгибается, как горб, направленный вверх или вниз (см. рисунок), а сам экстремум – это значение функции в «вершине» этого горба.

Вопрос 16.

Периодичность функций, основной период функции, график периодичной функции, теорема о периоде функции y = f (kx) (с доказательством).

Функция называется периодической, на множестве M, если существует такое число Т>0, называемое периодом, что для любого выполняются следующие свойства:
1) если , то и если , то ;
2) если , то и если , то .

Если Т – период функции, то и k Т, где , так же является периодом функции. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом функции.

График периодической функции состоит из одинаковых «кусочков», при этом значения функции на концах периода должны быть равны.

Примером периодической функции является функция - «дробная часть числа». Основной период этой функции равен 1.

Свойства периодических функций.

1. Если множество М, на котором задана функция неограниченно, то область определения содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные и отрицательные числа. Действительно, k Т, где , является периодом функции, а значит x + k Т принадлежит области определения функции. При этом k Т может быть сколь угодно большим по абсолютной величине положительным или отрицательным числом.

2. Если множество М, на котором задана функция неограниченно, то периодическая функция принимает каждое своё значение бесконечное количество раз.

3. Если для периодической функции с периодом Т на некотором отрезке выполняется неравенство (), где М – некоторая константа, то функция ограничена сверху (снизу). Действительно, т.к. длина отрезка равна периоду, то на этом отрезке функция принимает все свои значения.

Два числа Т₁ и Т₂ называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.

4. Если функции и - периодические на множестве М, с основными периодами Т₁ и Т₂, являющимися соизмеримыми, то и функция - периодическая на множестве М.

Действительно, если Т₁ и Т₂, соизмеримы, то учитывая, что они положительные имеем , где m и n – натуральные. Отсюда Пусть Т= . Тогда = = .

Теорема. Если число T - основной период , то число – основной период для , где .
Доказательство. Пусть Т - основной период , тогда:
1. Если , то и и , причём, одно из этих значений (в зависимости от знака k, равно , а другое равно . Т.е. и .

2. , а значит, . Т.е. – период функции при этом , где тоже период . В частности, при , периодом будет .

Если , то – положительный период функции , а если , то – положительный период функции . Таким образом, – положительный период функции .

Докажем, что – основной период для , т.е. наименьший положительный.

Предположим, что существует Т₁, такой что и , тогда , а это значит, что - период функции , но, т.к. , то , а это противоречит тому, что Т – основной (т.е. наименьший положительный) период

Вопрос 17.

Поиск по сайту: