 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера (с выводом), следствия
Схема Горнера.
(Деление многочлена на двучлен)
Рассмотрим деление многочлена 
на двучлен 
.
Разделив с остатком, получим единственное представление: 
, где 
- многочлен степени 
, а остаток R – число.
Пусть 
.
Тогда, 
.
Из двух форм записи многочлена 
следует равенство коэффициентов, т.е.
, 
, 
, … 
,
откуда получаем: 
, 
, 
, … 
,
Такую цепочку для вычисления коэффициентов многочлена называют СХЕМОЙ ГОРНЕРА и записывают в виде таблицы:
Коэффициенты 
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
| Число с | =
| 
| … | 
| … | 
| 
|
Коэффициенты 
| 
| 
| 
| 
| Остаток R |
Пример. Найти частное 
и остаток 
от деления многочлена 
на двучлен 
.
| Коэффициенты
| -5 | -8 | ||||
 6
|  13
|  39
|  109
|  329
| ||
| Коэффициенты
|
Следовательно, 
и 
Разложение многочлена по степеням двучлена. (Следствие из схемы Горнера)
Для любого многочлена (
, 
) и любого числа с, можно написать разложение 
по степеням двучлена : 
Выпишем цепочку равенств, которая укажет алгоритм нахождения коэффициентов разложения:
, где 
,
, где 
,
, где 
,
……….
, где 
,
Алгоритм нахождения коэффициентов выглядит так:
Разделить с остатком на . Остаток будет свободным членом разложения.
Разделить неполное частное с остатком на . Новый остаток будет коэффициентом при первой степени . И т.д.
Проводить разложение многочлена по степеням двучлена удобно по схеме Горнера
Пример. Разложить многочлен 
по степеням двучлена 
| -5 | -8 | ||||
| -2 |  -11
|  22
|  -52
|  110
| |
 -17
|  56
|  -164
| |||
 -23
|  102
| ||||
 -29
| |||||
В итоге получаем: 
Вопрос 20.
Корень многочлена. Теорема Безу (с доказательством), следствия. Делимость двучлена 
на двучлен 
.
Моё примечание: в вопросе, в той его части, которая мной выделена красным нет формул этих двух двучленов и , их вставил я, Т.к. насколько я знаю, говорить о делимости произвольного двучлена на произвольный двучлен в общем виде бессмысленно.
Число 
является корнем многочлена 
если 
=0.
Теорема Безу.
Теорема Безу. Если - произвольное число, то при делении многочлена на двучлен 
получается остаток равный значению многочлена от , т.е. 
= 
.
Для многочлена и двучлена существует единственное представление = 
× + 
.
Найдём значение 
= 
× 
+ 
= 
×0+ = . Что и требовалось доказать.
Остаток от деления многочлена на двучлен .
По теореме Безу остаток от деления многочлена = на двучлен 
равен 
= 
.
Теорема о корне.
(Необходимое и достаточное условие того, что число а является корнем многочлена).
Теорема о корне (следствие теоремы Безу). Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен без остатка.
Для многочлена и двучлена существует единственное представление = × + .
Т.к. является корнем многочлена то =0, но = × 
+ = = 
×0+ = . Следовательно, =0 и = × , т.е. делится на .
Обратно, если делится на , то =0 и = × 
= ×0=0.
Некоторые частные случаи корней многочлена.
Число 0 является корнем многочлена 
тогда и только тогда, когда его свободный член равен 0.
Действительно 
=0
Число 1 является корнем многочлена 
тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов равна 0.
Действительно 
=0
Число -1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов при четных степенях переменной равна сумме коэффициентов при нечетных степенях переменной (
считается коэффициентом при четной степени).
Действительно 
=0
Вопрос 21.
Кратность корня, понятие об основной теореме алгебры и следствия из нее.
Формулы Виета (с выводом).
Если многочлен делится без остатка на двучлен ровно n раз, т.е. делится без остатка на 
, причём n – наибольшая возможная степень, то число 
называют n – кратным корнем многочлена .
Другое определение: Если многочлен делится без остатка на двучлен 
, но не делится без остатка на 
, то число называют корнем кратности n.
Некоторые понятия о комплексных числах.
Число i, такое, что 
, называют «мнимой» единицей.
Число, которое можно записать в виде 
, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, называют комплексным.
Числа и 
называются комплексно сопряженными.
Сумма и произведение комплексно сопряжённых чисел есть действительное число.
Действительно, + = 
, 
.
Основная теорема алгебры (без доказательства). Любой многочлен степени 
имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.
Теорема (без доказательства). Если комплексное число , где 
является корнем многочлена 
, то и сопряжённое с ним комплексное число - также является корнем многочлена .
Следствие 1. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения множителей с действительными коэффициентами степени не выше 2.
Действительно, если корень 
– действительное число, то 
. Если корень - комплексное число , то - тоже его корень, и тогда 
.
Следствие 2. Любой многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень.
Действительно, т.к. любой многочлен раскладывается на многочлены степени не выше второй, а сумма степеней множителей должна равняться степени многочлена, то при нечётной степени многочлена, по крайней мере, один множитель будет линейным.
Обобщенная теорема Виета.
Если старший коэффициент 
многочлена 
отличен от 0, и многочлен 
имеет ровно n действительных корней, то
Доказательство:
Пусть 
.
Тогда можно записать, что, 
Пусть 
, 
, …, 
- его корни. Тогда 
.
Перемножим все двучлены и приведём подобные слагаемые. Получим:
.
По определению равных многочленов, коэффициенты при одинаковых степенях переменной должны быть равны. Приравниваем коэффициенты и получаем требуемые формулы.
Следствие. Если старший коэффициент многочлена равен 1, и многочлен имеет ровно n действительных корней, то
Следствие. Если старший коэффициент многочлена равен 1, и все его корни являются целыми числами, то корни многочлена являются делителями свободного члена.
Вопрос 22.
Поиск по сайту: