АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рассмотрим представление в конечно – разностной форме одномерного дифференциального уравнения параболического типа

Читайте также:
  1. C. развитие знаний в форме дообучения на дополнительной последовательности примеров
  2. C. развитие знаний в форме дообучения на дополнительной последовательности примеров
  3. I. Первым (и главным) принципом оказания первой помощи при ранениях верхней конечности является остановка кровотечения любым доступным на данный момент способом.
  4. III. После этого раненую конечность лучше всего зафиксировать, например, подвесив на косынке или при помощи шин, что является третьим принципом оказания помощи при ранениях.
  5. VIII. Порядок предоставления социальных услуг в форме социального обслуживания на дому
  6. X. Порядок предоставления социальных услуг в стационарной форме социального обслуживания
  7. XIII. Порядок предоставления социальных услуг в полустационарной форме социального обслуживания
  8. А теперь рассмотрим кислотно-щелочной баланс .
  9. АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ, 1 страница
  10. АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ, 10 страница
  11. АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ, 11 страница
  12. АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ, 12 страница

Представление дифференциальных уравнений параболического типа в разностной форме

Известно, что любую функцию , непрерывную и имеющую все необходимые производные при x=a, можно представить в виде ряда Тейлора:

(1.1.1)

Отсюда видно, что по известным значениям функции и её производных можно определять значения функции в близлежайшей точке.

Пусть на оси OX имеется отрезок MN, разбитый на n равных частей. Тогда расстояние (шаг) между соседними точками

0 1 i-1ii+1 ….. n-1n

 
 


O M N Х

Выберем произвольные точки на линии MN:(i - 1), i, (i + 1 ) и при помощи (1.1.1) запишем значения функции в точках (i - 1) и (i + 1) через значения функции и её производных в точке i. Для точки (i-1): (x-a) = - h, а для точки (i+1): (x-a) = h.

(1.1.2)
(1.1.3)

Здесь - значение производных в точке i.

Первая производная из уравнений (1.1.2) и (1.1.3) будет выражаться так:

 
(1.1.5)

– сумма соответствующих остаточных членов ряда (1.1.2) или (1.1.3), поделённых на h.

Можно получить более точное выражение для первой производной по x в точке i, если вычесть (1.1.3) из (1.1.2)

(1.1.6)  
  Разобьём интервал времени [O,T] на k - равных интервалов, тогда шаг по времени . (1.1.8)
         

Где j – соответствует временному слою , а j+1 временному слою (j+1)Δt

Можно получить боле точное выражение первой производной по времени через конечные разности.

Запишем значение функции и через её значения в точке j+1 с использованием (1.1.1).

  (а)
  (б)
 
 

Умножив (а) на 4 и вычитая из (б), получим для

 
     

Т.е. с точностью до , если отбросим остаточные члены о () в выражении (1.1.9).

Рассмотрим представление в конечно – разностной форме одномерного дифференциального уравнения параболического типа

; ,   (1.2.1)

которое описывает фильтрацию сжимаемой жидкости (аналогично уравнению теплопроводности)

Используя уравнения (1.1.5) и (1.1.7) предыдущего раздела имеем выражение

  (1.2.2)

Здесь - погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения (1.2.1) конечно – разностным уравнением. Принимается, что

В уравнении (1.2.2) левую часть можно рассматривать на различных временных уровнях: либо на слое j Dt и тогда имеем уравнение

  (1.2.3)

либо на временном слое (j+1) Dt и тогда уравнение (1.2.2) имеет вид

 

  (1.2.4)

При записи этих уравнений пренебрегается величиной

В уравнении (1.2.3) имеется лишь одна неизвестная величина (Считается, что все величины на временном слое известны). Такое уравнение называется явным сеточным уравнением.

Уравнение (1.2.4), где имеются три неизвестные величины , , называется неявным.

Применяя последовательно уравнение (1.2.3) к каждой точке i сеточной области (с учетом граничных условий), можно получить искомое решение на временном слое и т.д. Таким образом, оно позволяет явным образом находить решение задачи в каждый момент времени .

Записывая неявное уравнение (1.2.4) для точек , получаем систему из (n-1) уравнения с (n+1) неизвестным. Граничные условия в точках i=0 и i=n дают еще два условия. Следовательно, чтобы решить задачу на временном слое , требуется решить систему (n+1) уравнения с (n+1) неизвестным.

Таким образом, использование численных методов сводит интегрирование дифференциального уравнения в частных производных (1.2.1) и соответствующих краевых условий к чисто алгебраической задаче.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)