Методика решения задачи в случае трехмерной, трехфазной фильтрации (SIP-метод)

(3.1.3)

где

а индекс "1" относится к газовой фазе, индекс "2" - к нефтяной, индекс "3" - к водяной фазе.

Поскольку система (3.1.3) является существенно нелинейной, воз­можно получение ее решения только на основе численных методов ин­тегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Ме­тоды численного решения подобных систем могут быть различными. В настоящей работе используется метод неполной разностной факториза­ции [14, 29, 42].

Сущность метода заключается в следующем. Семи диагональная мат­рица системы разностных /алгебраических/ уравнений /рис.3.1а/, к которой сводится дифференциальная задача (3.1.3), при соответствующих условиях, представляется в виде произведения двух матриц - верхней /рис. 3.1в/ и нижней /рис. 3.1б/ треугольных матриц. Обычное разло­жение /факторизация/ матрицы на верхнюю и нижнюю тре­угольные матрицы приводит к появлению ненулевых членов в области между диагоналями Z и E для нижней матрицы и в области между диагоналями S и E для верхней матрицы. При значительном чис­ле узлов разностной сетки решение такой факторизованной /т.е. разло­женной на множители/ системы требует большой памяти для хранения ненулевых членов матриц и значительных затрат машинного времени на решение.

Однако матрицу можно модифицировать путем добавления некоторой вспомогательной матрицы таким образом, чтобы ненулевые члены сохранялись только на диагоналях, представленных на рис. 3.1г. Модифицированная матрица ()легко факторизуется /разлагается/ на произведение матриц

Систему разностных уравнений /аппроксимирующую систему дифферен­циальных уравнений и граничных условий/ можно записать следующим образом:

(3.1.4)

Согласно идее рассматриваемого метода решения добавим справа и слева в (3.1.4) вспомогательную матрицу. /Следует отметить, что мо­жет быть несколько методов для определения матрицы . Мы восполь­зуемся методом, предложенным Стоуном [42] /. Тогда будем иметь

(3.1. 4а)

где матрица ()легко разлагается.

Система (3.1.4а) решается, если величины в правой части известны. Для этого применим следующую итерационную схему:

, где m – номер итерации.

Ряд исследователей указывает, что для улучшения сходимости решения удобней решать задачу не относительно итерируемой величины

а относительно вектора невязки /приращений/:

(3.1.4б)

Добавим и вычтем из правой части (3.1.4а) величину

Тогда

или окончательно

, (3.1.4в)

где ; - матрица коэффициентов разностных уравнений;

- вспомогательная матрица; - искомая функция /вектор/; - правая часть разностных уравнений /вектор/.

Здесь ;

и далее

= ; =

- фазовое давление / давление в фазе/ в точке (i,j,k) разностной сетки; - правая часть уравнения (3.1.4) в точке (i,j.k) разностной сетки, соответствующая определенному компоненту сме­си / m = 1,2,3/.

Модифицированная матрица / / должна по условию легко факторизоваться на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы, т.е.

() = (а)

где - нижняя, a - верхняя треугольные матрицы.

Из (3.1.4в) и (а) следует, что

()* = * = (б)

Обозначим (в)

тогда из (б) следует

(г)

Решение системы (3.1.4в) может быть получено следующим образом. Так как и треугольные матрицы, то сначала из /г/ определяем вектор

(д)

а затем из (в) определяем вектор приращений искомых дав­лений на (m+1)итерации

(е)

Элемент матрицы в уравнении (3.1.4в) для некоторой точки (i,j,k) пространственной сетки имеет вид:

(3.1.5)

В (3.1.5) последние 6 строк выражают вспомогательную матрицу ; - диагональная матрица итерационных параметров, (p= 1,2,3);

- вектор невязки по давлениям в фазах в точке (i,j,k);

;

и т.д. - матрицы 3-го порядка в случае трехфазной фильтрации.

Выражение (3.1.5) имеет место при решении разностных уравнений с возрастанием всех индексов. Вообще говоря, для улучшения сходи­мости итерационного процесса при решении разностных уравнений в методе неполной разностной факторизации рекомендуется менять поря­док изменения индексов от итераций к итерации. Например, можно ме­нять индексы при нечетной итерации так: i= 1,2,...,М; j= 1,2,…N; k=1,2,…Kz; а при четной i=1,2,...М; j= N,N-1,…2,1; k= Kz, Kz-1,…2,1.

На рис.3.2представлена мнемоническая схема для решения систе­мы (3.1.4в) при возрастании всех индексов /черные и светлые кружочки/ и при изменении индексов j и kв обратном порядке /черные кру­жочки и крестики/.

Как было показано выше, процесс решения методом неполной разност­ной факторизации распадается на два этапа. На первом определяются матрица и вектор , на втором решается система (е), чтобы определить вектор невязки .

(3.1.6)

(i=1,2,…M; j=1,2,…N; k=1,2,…Kz)

Вектор при этом определяется по формуле:

(3.1.7)

(i=1,2,…M; j=1,2,…N; k=1,2,…Kz)

Значения получаются по рекуррентной формуле:

(3.1.8)

(i= M,…2,1; j= N,…2,1; k= Kz,…2,1)

При расчетах с изменением индексов: i=1,2,…M; j=N,N-1,…2,1; k=Kz,Kz-1,…2,1 выражения для коэффициентов имеют вид:

(3.1.6’)

(i=1,2,…M; j=N,N-1,…2,1; k=Kz,Kz-1,…2,1)

Вектор в этом случае определяется по формуле:

(3.1.7’)

(i=1,2,…M; j=N,N-1,…2,1; k=Kz,Kz-1,…2,1)

Значения получаются по формуле:

(3.1.8’)

(i= M,…2,1; j= 1,2,…N; k= 1,2,…Kz)

В выражениях (3.1.6, 3.1.6', 3.1.7, 3.1.7', 3.1.8, 3.1.8')

- матрица итерационных параметров;

- единичная матрица

Элементы матриц , и т.д. в /3.1.5/ имеют вид:

(3.1.9)

(m =1,2,3; =1,2,3)

Правая часть уравнения (3.1.4) для точки (i,j,k)разност­ной сетки - это вектор вида

и далее

(3.1.10)

Здесь ; - фазовое давление ( =1,2,3) на предыдущем временном слое; - размеры шагов пространственной и временной разностной сетки.

Для выбора величин итерационных параметров в матрице итерацион­ных параметров рекомендуется рядом исследователей /Уайнштейн и др. 1969 [262,272]/ оценить следующую величину:

где M, N, Kz- число узлов по осям X, Y, Z, соответ­ственно;

;

;

.

Лучшая сходимость итерационного процесса достигается при ис­пользовании последовательности итерационных параметров в цикле [45]. Для матрицы итерационных параметров величины могут быть определены следующим образом:

(3.1.11)

При этом итерационные параметры изменяются от итерации к итерации в геометрической прогрессии. Согласно (3.1.11) изменяется от до 0, затем цикл изменения итерационного параметра повторяется. При оценке , , величины, равные нулю или бесконечности не рассматриваются. В общем случае число параметров в цикле принимается с = 4 10. Еслипри определенной последовательности решения возникает расходимость результатов, вычисленное значение следует умножить на коэффициент, меняющийся от 2 до 10, если итерации сходятся, но медленно, то это значение нужно разделить на тот же коэффициент.

Поиск по сайту: