Виды разностных схем. Способы выбора шага по времени и в пространстве

,

В случае явного уравнения (1.2.3) решение является устойчивым, если существует следующее соотношение между пространственными и временными шагами:

- условие улучшения ошибки аппроксимации

Использование явного сеточного уравнения (1.2.3) возможно в том случае, если соблюдается условие (1.2.5). Это ограничение на шаг по времени оказывается очень жёстким. Для соблюдения условия устойчивости шаг Dt приходится брать очень малым. Это увеличивает общее число шагов по времени, а, следовательно, и общий объём вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на достаточную простоту явного сеточного метода, его использование на практике весьма ограничено.

При неявном сеточном методе прямых ограничений на величины шагов во времени и пространству не имеется. Однако для получения заданной степени точности решения задачи приходится уделять определённое внимание выбору шагов по времени и пространству.

Выбор шага по пространственной переменной на практике часто осуществляется экспериментальным путём. Для этого на ЭВМ проводятся вычисления с некоторыми шагами D x. Затем вычисления проводятся с шагом D x /2. Если оказывается, что решения отличаются на величину меньшую заданной погрешности e, то шаг D x считается незавышенным для достижения заданной точности. В противном случае делается просчёт с меньшим шагом, D x /4 и т.д.

Один из алгоритмов увеличения шага по времени таков. Рассчитываются с малым начальным шагом D t по времени 2 временных шага. Затем с шагом просчитывается один шаг по времени. Полученные два решения на момент времени сопоставляются. Если эти решения различаются на величину большую, чем заданная погрешность , то дальнейший счет ведется с шагом . В противном случае расчет ведется с шагом и т.д.

Часто используя особенности самого решения и геометрии, можно сделать так, чтобы приращение было более высокой степени точности (замена обычных координат на логарифмические).

В заключении приведем ряд конечно-разностных схем применительно к уравнению (1.2.1)

, s = const > 0

	Мнемонические схемы	Разностные уравнения и погрешность аппроксимации
		Явная схема устойчива, если
		Неявная схема всегда устойчива
		Неявная схема всегда устойчива
		при устойчива, если , при всегда устойчива.
7		- схема всегда неустойчива.

Поиск по сайту: