Метод переменных направлений

Как уже указывалось выше, экономичными разностными методами называются такие, у которых число итераций не превышает 0(). Все экономичные методы имеют одну общую алгоритмическую идею: процесс отыскания приближенного решения многомерной задачи разбивается на несколько этапов, на каждом из которых решается простая задача. Так, для уравнения второго порядка такой простой, ² первичной ² задачей является трех точечная разностная задача, которая решается методом прогонки. Эта трех точечная задача, как правило, может быть трактована как разностная аппроксимация одномерного (по X_a) дифференциального уравнения. Таким образом, экономичный алгоритм решения сложных задач есть цепочка простых алгоритмов.

Отсюда становятся понятными применяемые различными авторами термины для экономичных методов решения многомерных задач: метод переменных направлений (на каждом этапе решается одномерная задача по фиксированному направлению); метод дробных шагов (любой сложный вычислительный процесс ведется поэтапно с использованием промежуточных (дробных) значений); метод расщепления (сведение более сложной задачи к более простой задаче, ² расщепление² сложной задачи на простые) и др.

Основные черты метода.

1.Переход со слоя (n) на слой (n+1) осуществляется при помощи последовательности обычных (двухслойных, трехслойных) схем.

2. Погрешность аппроксимации таких схем, которые называются аддитивными, определяется как сумма невязок для всех промежуточных схем (т.е. аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией).

	(1.5.1)
	(1.5.8a)

Здесь наряду с основными значениями искомой функции вводится промежуточное значение, , которое формально рассматривается на момент времени . Переход от временного слоя n к слою n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t.

При i= 0,M и j= 0,N задаются граничные условия, например непроницаемая граница.

Отборы из скважин могут быть заданы в виде источников .

Система (1.5.8) имеет (N+1)(M+1) неизвестных и состоит из (M-1)(N-1) уравнений, к которым для замыкания системы следует добавить (2M+2N) условий на сеточной границе.

Характерным для (1.5.8а) и (1.5.8б) является, то, что они имеют трех диагональную матрицу и могут быть решены методами прогонки.

Заметим, что если коэффициенты, входящие в разностные уравнения, являются не постоянными, то следует применить для каждой системы разностных уравнений итерационную процедуру.

Итак, методом переменных направлений сначала решается система (1.5.8a). Прогонка осуществляется вдоль оси X. При этом значения второй производной по Y берется с нижнего временного слоя (n). Решение осуществляется для каждой строки. Затем решается система (1.5.8б) для каждого столбца вдоль оси Y.

Получаемое таким образом решение является искомым и соответствует (n+1) временному слою. Таким же образом отыскивается решение задачи на каждом следующем временном слое.

Поиск по сайту: