Понятие устойчивости и сходимости разностных уравнений. Условие устойчивости явной и неявной разностной схемы

Использование сеточных методов для решения краевых задач приводит к рассмотрению вопросов сходимости и устойчивости их.

Необходимость рассмотрения сходимости и устойчивости сеточных методов связана:

1) с погрешностью аппроксимации дифференциальных уравнений и соответствующих краевых условий конечно-разностными уравнениями;

2) с погрешностью решения на каждом временном слое .

Если сеточный метод, дает такое решение, которое при изменении шагов ∆x и ∆t (при , ) (причем , т.е. пространственные приращения стремятся к нулю по определенной зависимости от временного приращения ∆t, когда последнее стремится к нулю), стремится к точному решению задачи, то такой метод называется сходящимся, а конечно-разностное уравнение согласуется с соответствующими дифференциальным уравнением в частных производных.

Если сеточный метод дает такое решение, что при увеличении числа просчитанных шагов по времени j погрешность вычислений (из-за ошибок округления) стремится к нулю, или хотя бы не возрастает (остается ограниченной), то метод называется устойчивым.

Необходимо заметить, что устойчивость в смысле изложенного выше определения не опирается на дифференциальное уравнение, подлежащее численному интегрированию, а является свойством исключительно системы разностных уравнений.

1.2.3.1. Если рассматривать разностные методы решения дифференциальных уравнений с точки зрения линейных операторов в векторном пространстве, то всякое решение на временном слое , можно выразить через решение на временном слое , применив к последнему, оператор, называемый матрицей (множителем) перехода от одного временного слоя к другому. При этом устойчивость требует, чтобы, матрица перехода была равномерно ограниченной.

Необходимым условием устойчивости по Нейману является условие, что , при ; и всех , где – сетка пространства, – радиус спектра матрицы [22].

1.2.3.2. Собственное значение матрицы перехода связано с соотношением величин шагов и

В случае явного уравнения (1.2.3) решение является устойчивым, если существует следующее соотношение между пространственными и временными шагами:

(1.2.5)

В случае неявного разностного уравнения (1.2.4) никаких ограничений на величины шагов и не накладываются, т. е. говорят, что уравнение (1.2.4) абсолютно устойчиво.

1.2.4. Однако это не означает, что при пользовании неявным методом допустимы любые шаги на осях Dx и Dt.

Здесь мы сталкиваемся с понятием ошибки аппроксимации.

Действительно, вычтем из (1.2.1) (1.2.2) и получим после преобразования выражение:

(1.2.6)

1.2.6. Использование явного сеточного уравнения (1.2.3) возможно в том случае, если соблюдается условие (1.2.5). Это ограничение на шаг по времени оказывается очень жёстким. Для соблюдения условия устойчивости шаг Dt приходится брать очень малым. Это увеличивает общее число шагов по времени, а, следовательно, и общий объём вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на достаточную простоту явного сеточного метода, его использование на практике весьма ограничено.

При неявном сеточном методе прямых ограничений на величины шагов во времени и пространству не имеется. Однако для получения заданной степени точности решения задачи приходится уделять определённое внимание выбору шагов по времени и пространству.

Выбор шага по пространственной переменной на практике часто осуществляется экспериментальным путём. Для этого на ЭВМ проводятся вычисления с некоторыми шагами D x. Затем вычисления проводятся с шагом D x /2. Если оказывается, что решения отличаются на величину меньшую заданной погрешности e, то шаг D x считается незавышенным для достижения заданной точности. В противном случае делается просчёт с меньшим шагом, D x /4 и т.д.

Поиск по сайту: