АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Приклад 4. Знайти додатній корінь рівняння

Читайте также:
  1. III. Прикладные исследования
  2. IV. Запишіть 2 приклади: один - пособництва зґвалтуванню, другий - готування до розбещення неповнолітніх (складіть фабули).
  3. V. Запишіть 2 приклади вчинення замаху на злочини, передбачені статтями розділу ІІІ Особливої частини КК України (складіть фабули).
  4. Баланс матеріальних ресурсів на 2011 р (приклад умовний)
  5. В приложениях курсовой работы необходимо поместить экранные формы прикладных программ, упомянутых в тексте курсовой работы.
  6. Виды прикладных социологических исследований
  7. Визначення ролей і відповідальності учасників інноваційного процесу розглядаються на прикладі програми реалізації інноваційного проекту.
  8. Використовувати підручники: (як приклад)
  9. Випереджаюча база порівняння при
  10. Вирішення прикладу 1
  11. Вирішення прикладу 2
  12. Вирішення прикладу 3

f(x)= x3 – 0,2 x2 – 0,2 х – 1,2 = 0

з точністю e = 0,01.

Перш за все, відділяємо корінь. Оскільки

f (1) = -0,6 < 0 і f (2) = 5,6 > 0,

то шуканий корінь ξ лежить в інтервалі [1, 2]. Отриманий інтервал великий, тому розділимо його навпіл. Оскільки

f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< (< 1,5.

Оскільки f ˝ (x) = 6 x – 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 і f (1,5) > 0, то скористаємося формулою (5) для розв’язок поставленого завдання:

= 1,15;

x 1 – x 0 ½ = 0,15 > e,

отже, продовжуємо обчислення;

f (х1) = -0,173;

= 1,190;

½ x 2 – x 1 ½ = 0,04 > e,

f (х2) = -0,036;

= 1,198;

½ x 3 – x 2 ½ = 0,008 < e.

Таким чином, можна прийняти x = 1,198 з точністю e = 0,01.

Відмітимо, що точний корінь рівняння x = 1,2.

Метод Ньютона

Відмінність цього ітераційного методу від попереднього полягає в тому, що замість хорди на кожному кроці проводиться дотична до кривої у = f(x) при x = хi і шукається точка перетину дотичної з віссю абсцис (Малюнок 4). При цьому не обов'язково задавати відрізок [а, b], що містить корінь рівняння (1), досить знайти лише деяке початкове наближення кореня x = х0.

Застосовуючи метод Ньютона, слід керуватися наступним правилом: як вихідна точка х0 вибирається той кінець інтервалу [а, b], якому відповідає ордината того ж знаку, що і знак f ˝(х).

Малюнок 3. Метод Ньютона

Рівняння дотичної, проведеної до кривої у = f(x) через точку В0 з координатами х0 і f(х0), має вигляд:

Малюнок 5. Ітераційні процеси, що сходяться

Звідси знайдемо наступне наближення кореня х1 як абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох (у = 0):

Аналогічно можуть бути знайдені і наступні наближення як точки припинення з віссю абсцис дотичних, проведених в точках В1, В2 і так далі. Формула для i +1 наближення має вигляд:

  (7)

Для закінчення ітераційного процесу може бути використана або умова ï f (xi)ï < e, або умова близькості 2х послідовних наближень½ xi – xi - 1 ½< e.

Ітераційний процес сходиться якщо

f (х 0) × f ² (х 0)> 0.

Малюнок 4. Розв’язання рівняння f(x)= 0 методом Ньютона

Реалізація методу Ньютона засобами MATHCAD приведена на Малюнку 5. Для організації ітераційних обчислень використовується функція until.

Until(а, z)

Повертає z, поки вираз а не стає негативним; а повинно містити дискретний аргумент.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)