 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Метод половинного ділення
Для знаходження кореня рівняння (1), що належить відрізку [а,b], ділимо цей відрізок навпіл. Якщо f 
=0, то 
є коренем рівняння. Якщо f ≠0 (що, практично, найймовірніше), то вибираємо ту з половин 
або 
, на кінцях якої функція f(x) має протилежні знаки. Новий звужений відрізок [а1, b1](знову ділимо навпіл і проводимо ті ж самі дії.
Метод половинного ділення практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, метод простий і надійний, завжди сходиться.
Приклад 3. Методом половинного ділення уточнити корінь рівняння
f(x)(x4 + 2 x3 – x – 1 = 0 що лежить на відрізку [0, 1].
Послідовно маємо:
f(0)= - 1; f(1)= 1; f(0,5)= 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = - 1,19;
f(0,75)= 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59;
f(0,875)= 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05;
f(0,8125)= 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,304;
f(0,8438)= 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135;
f(0,8594)= 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043 і так далі
Можна прийняти
x = 
(0,859 + 0,875) = 0,867
Метод хорд
 а)
 б)
|
| Рисунок 1. Метод хорд |
У даному методі процес ітерацій полягає в тому, що як наближення до кореня рівняння (1) набувають значень х1, х2..., хn точок перетину хорди АВ з віссю абсцис (Малюнок 3). Спочатку запишемо рівняння хорди AB:
 а)
 б)
|
| Рисунок 2. Метод хорд |
. 
а б
Рисунок 3. Метод хорд
Для точки перетину хорди AB з віссю абсцис (х=х1, у=0) отримаємо рівняння:
Хай для визначеності f ² (x)>0 при а £ х £ b (випадок f ² (x)<0 зводиться до нашого, якщо записати рівняння у вигляді ‑ f(x) = 0). Тоді крива у = f(x) буде опукла вниз і, отже, розташована нижче за свою хорду АВ. Можливі два випадки: 1) f(а) > 0 (Малюнок 3, а) і 2) f(b) < 0 (Малюнок 3, би).
 а)
 б)
|
| Малюнок 2. Метод хорд |
У першому випадку кінець а нерухомий і послідовні наближення: x0 = b;
 
| (5) |
утворюють обмежену монотонно спадаючу послідовність, причому
У другому випадку нерухомий кінець b, а послідовні наближення: x0 = а;
| (6) |
утворюють обмежену монотонно зростаючу послідовність, причому
Узагальнюючи ці результати, укладаємо:
1) нерухомий той кінець, для якого знак функції f (х) збігається із знаком її другої похідної f ((х);
2) послідовні наближення xn лежать по той бік кореня (, де функція f (х) має знак, протилежний до знаку її другої похідної f ((х).
Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не буде виявлено, що
½ xi – xi - 1 ½< e,
де e- задана гранична абсолютна похибка.
Поиск по сайту: