Розв’язування нелінійних рівнянь

Міністерство освіти та науки, молоді та спорту України

Бердичівський коледж промисловості, економіки та права

Методичні вказівки

До виконання практичних робіт

«Чисельні методи»

Автор-укладач Кудлай Л.А.

Вступ

Практичний цикл з дисципліни містить 8 робіт з розв’язання задач обчислювальної математики та по вивченню програмування з використанням математичної системи Mathcad.

Рекомендована література:

1. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 1990 – 544 с.: ил.

2. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. – Методи наближених обчислень: Навчальний посібник. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.

3. Вычислительная математика: Учебное пособие для техникумов/ Данилина Н.И., Дубровецкая Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л. – М.: Высшая школа, 1985. – 472 с., ил.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. ІІ: Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр. - М.: Высш.шк., 1999. – 416 с.: ил.

5. Кирьнов Д.В. Самоучитель Mathcad 13. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 528 сю: ил.

6. Конспект лекцій.

Вміст звіту по кожній роботі:

1. Назва роботи, мета роботи, завдання у відповідності з варіантом.

2. Програма (у вигляді лістингу або у вигляді скріншоту).

3. Результати виконання програми на ПК.

4. Висновки по роботі.

5. Відповіді на контрольні питання.

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 1-2

Тема: Розв’язування нелінійних рівнянь та їхніх систем з використанням засобів системи Mathcad.

Мета: Закріпити знання теоретичного матеріалу та навчитися використовувати його на практиці за допомогою прикладного математичного пакету Mathcad. Навчитись виконувати елементарні обчислення.

Теоретичні відомості

Розв’язування нелінійних рівнянь

Нелінійні рівняння можна розділити на 2 класи - алгебраїчні і трансцендентні. Алгебраїчними рівняннями називають рівняння,які містять алгебраїчні функції, (цілі, раціональні, ірраціональні). Зокрема, многочлен є цілою функцією алгебри. Рівняння, що містять інші функції (тригонометричні, показникову, логарифмічну та інші) називаються трансцендентними.

Методи розв’язування нелінійних рівнянь діляться на дві групи:

1) точні методи;

2) ітераційні методи.

Точні методи дозволяють записати корені у вигляді деякого кінцевого співвідношення – формули.

Як відомо, багато рівнянь і систем рівнянь не мають аналітичних рішень. В першу чергу це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено також, що не можна побудувати формулу, по якій можна було б вирішити довільне рівняння алгебри міри вище четвертою. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, відомі лише приблизно, і, отже, саме завдання про точне визначення коренів рівняння втрачає сенс. Для їх розв’язку використовуються ітераційні методи із заданим степенем точності.

Нехай дано рівняння

(1)

де:

1) Функція f(x) безперервна на відрізку [а, b] разом зі своїми похідними 1-го і 2-го порядку.

2) Значення f(x) на кінцях відрізка мають різні знаки (f(a)×(f(b)<0).

3) Перша і друга похідні f˝((x) і f’((x) зберігають певний знак на всьому відрізку.

Умови 1) і 2) гарантують, що на інтервалі [а,b] знаходиться хоч би один корінь, а з 3) витікає, що f(x) на даному інтервалі монотонна і тому корінь буде єдиним.

Розв’язати рівняння (1) ітераційним методом означає встановити, чи має воно корені, скільки корені і знайти значення корені з потрібною точністю.

Всяке значення, що обертає функцію f(x) в нуль, тобто таке, що:

називається коренем рівняння (1) або нулем функції f(x).

Завдання знаходження кореня рівняння f(x)= 0 ітераційним методом складається з двох етапів:

1) відділення кореня - відшукання наближеного значення кореня або відрізка, що містить його;

2) уточнення наближеного кореня - доведення їх до заданого ступеня точності.

Процес відділення коренів починається зі встановлення знаків функції f(x) в граничних x = а і x = b точках області її існування.

Приклад 1. Відокремити корені рівняння:

Складемо приблизну схему:

Отже, рівняння (2) має три дійсні корені, що лежать в інтервалах [-3, -1], [0, 1] і [1, 3].

Наближені значення коренів (початкові наближення) можуть бути також відомі з фізичного змісту завдання, з розв’язку аналогічної задачі при інших вихідних даних, або можуть бути знайдені графічним способом.

У інженерній практиці поширений графічний спосіб визначення наближеного кореня.

Зважаючи, що дійсні корені рівняння (1) - це точки перетину графіка функції f(x) з віссю абсцис, досить побудувати графік функції f(x) і відзначити точки перетину f(x) з віссю Ох, або відзначити на осі Ох відрізки, що містять по одному кореню. Побудову графіків часто вдається сильно спростити, замінивши рівняння (1) рівносильним йому рівнянням:

,

3)

де функції f₁(x) і f₂(x) - простіші, ніж функція f(x). Тоді, побудувавши графіки функцій у = f₁(x) і у = f₂(x), шукані корені отримаємо як абсциси точок перетину цих графіків.

Малюнок 1. Приклад 2

Приклад 2. Графічно відокремити корені рівняння (Малюнок 2):

Рівняння (4) зручно переписати у вигляді рівності:

lg x= .

Звідси ясно, що корені рівняння (4) можуть бути знайдені як абсциси точок перетину логарифмічної кривої у = lg x і гіперболи у= . Побудувавши ці криві, приблизно знайдемо єдиний корінь рівняння (4) або визначимо відрізок, що його містить [2, 3].

Ітераційний процес полягає в послідовному уточненні початкового наближення х₀. Кожен такий крок називається ітерацією. В результаті ітерацій знаходиться послідовність наближених значень кореня х₁, х₂...,х_n. Якщо ці значення із збільшенням числа ітерацій n наближаються до дійсного значення кореня, то говорять, що ітераційний процес сходиться.

Поиск по сайту: