Приклад 5. Рівняння

має корінь ξÎ [1, 2], оскільки f(1)= - 1 < 0 і f(2)= 5 > 0.

Рівняння (10) можна записати у вигляді

Тут j(х) = х³ – 1 і j¢ (х) = 3х²; тому j¢(х) ³ 3 при 1≤х≤ 2 і, отже, умови збіжності процесу ітерації не виконані.

Якщо записати рівняння (10) у вигляді

(12)

то матимемо: .

Звідси при 1≤ х ≤2 і означає, процес ітерації для рівняння (12) швидко зійдеться.

Знайдемо корінь (рівняння (10) з точністю до 10^-2. Обчислюємо послідовні наближення х_n з одним запасним знаком по формулі

Знайдені значення поміщені в Таблицю 1:

Таблиця 1

Значення послідовних наближень xi.

З точністю до 10^-2 можна покласти ξ = 1,324.

Розв’язок рівнянь засобами Mathcad

Розв’язок одного рівняння

Для простих рівнянь вигляду f(x)=0 розв’язок в Mathcad знаходиться за допомогою функції root.

root(f(х1, x2.), х1, а, b)

F(х1, x2.) - функція, визначена де-небудь в робочому документі, або вираження. Вираження повинне повертати скалярні значення.

Х1 - - ім'я змінної, яка використовується у вираженні. Етой змінній перед використанням функції root необхідно привласнити числове значення. Mathcad використовує його як початкове наближення при пошуку кореня.

а, b – необов'язкові, якщо використовуються, то мають бути дійсними числами, причому а < b.

Якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить відповідного наближення, то з'явиться повідомлення (відсутня збіжність). Ця помилка може бути викликана наступними причинами:

· Рівняння не має коренів.

· Корінь рівняння розташований далеко від початкового наближення.

· Вираз має локальні max і min між початковим наближенням і коренем.

· Вираз має розриви між початковими наближеннями і коренем.

· Вираз має комплексний корінь, але початкове наближення було дійним.

Щоб встановити причину помилки, досліджуйте графік f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x)= 0 і, якщо вони є, то визначити приблизно їх значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, тим швидше буде root сходитися.

Рекомендації по використанню функції root:

· Для зміни точності, з якою функція root шукає корінь, потрібно змінити значення системної змінної TOL. Якщо значення TOL збільшується, функція root сходитиметься швидше, але відповідь буде менш точна. Якщо значення TOL зменшується, то функція root сходитиметься повільніше, але відповідь буде точніша. Щоб змінити значення TOL в певній точці робочого документа, використовуйте визначення вигляду .Щоб змінити значення TOL для всього робочого документа, виберіть команду Математика→Параметры→Переменные→Допуск сходимости (TOL).

· Якщо два корені розташовано близько один від одного, слід зменшити TOL, щоб розрізнити їх.

· Якщо функція f(x) має малий нахил біля шуканого кореня, функція root(f(x), x) може сходитися до значення r, досить віддаленого від кореня. У таких випадках для знаходження точнішого значення кореня необхідно зменшити значення TOL. Інший варіант полягає в заміні рівняння f(x)= 0 на g(x)= 0

.

· Для виразу f(x) з відомим коренем а знаходження додаткових коренів f(x) еквівалентно пошуку коренів рівняння h(x)=f(x)/(x‑а). Подібний прийом корисний для знаходження коренів, розташованих близько один до одного. Простіше шукати корінь виразу h(x), чим пробувати шукати інший корінь рівняння f(x)= 0, вибираючи різні початкові наближення.

Малюнок 8. Розв’язок систем рівнянь в Mathcad

Знаходження коренів полінома

Для знаходження коренів виразу, що має вигляд

v_nxⁿ +... + v₂x² + v₁x + v₀

краще використовувати функцію polyroots, ніж root. На відміну від функції root, функція polyroots не вимагає початкового наближення і повертає відразу все корені, як дійсні, так і комплексні.

Polyroots(v)