Понятие неопределенного интеграла

В математике есть операции, которые являются обратными. Например, сложение и вычитание, умножение и деление.

Мы изучили операцию дифференцирования, то есть научились по функции находить производную .

Теперь перед нами стоит обратная задача: как, зная производную , восстановить исходную функцию ?

Рассмотрим задачу.

Дана функция .

Найти производную , или дифференциал .

Действие нахождения производной или дифференциала называется дифференцированием.

или

Функция Производная (Дифференциал)

Для каждой функции существует единственная производная . Например, для функции производной является , а дифференциалом .

Рассмотрим обратную задачу.

Дана производная или дифференциал .

Найти исходную функцию .

Действие обратное к дифференцированию - нахождение самой функции («исходной, первого образа, прообраза») по ее производной или дифференциалу - называется интегрированием.

или

Первообразная Производная (Дифференциал)

Для производной (или дифференциала ) исходной функцией является , а также , и так далее, и вообще, всякая функция вида , где - любая константа.

· Всякая функция , для которой на промежутке Х ее производная равна некоторой функции , называется первообразной функцией для функции , то есть выполняется

.

Для данной функции имеется бесконечное множество первообразных функций , отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Графики всех первообразных (интегральные кривые) получаются одна из другой в результате параллельного сдвига кривой вдоль оси ординат.

у

х

Рисунок 1

· Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом и обозначается .

Если функция является одной из первообразных для функции , то .

Здесь - знак интеграла, - подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение, - переменная интегрирования,

- первообразная, т.е. ;

- постоянная интегрирования.

Пример. , где - произвольная постоянная.

Таблица основных интегралов

1. () · · · 2. 3. · 4. 5.

6. 7. 8. · 10. 11.

Поиск по сайту: