Рациональные функции

· Целой рациональной функцией называется многочлен -й степени от переменной , т.е. , где и целое, .

Например,

· многочлен нулевой степени от переменной - это (число),

· многочлен первой степени от переменной имеет вид ,

· многочлен второй степени от имеет вид .

· Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов, не имеющих общих множителей, т.е.

.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. . Например, .

Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I) ; II) (, целое);

III) ( ); IV) ( ).

Используя алгоритм деления многочленов «углом», всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. На основе указанного разложения неопределенный интеграл от неправильной рациональной дроби сводится к сумме интегралов: первый из них является интегралом от многочлена, а второй – интегралом от правильной дроби.

Пример 1. .

Делим числитель на знаменатель:

Тогда .

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби разлагается на множители вида , (дискриминант отрицательный). Тогда правильную рациональную дробь сначала следует разложить на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами, найти эти коэффициенты и затем проинтегрировать каждое слагаемое.

Поиск по сайту: