Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция непрерывна на , а функция - одна из ее первообразных, т.е. , то определенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной F(х) на этом отрезке, то есть

.

Эта формула сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла.

Разность называется приращением первообразной и обозначается .

Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение.

На основании свойств определенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница получаем

Контрольные вопросы

1. Как из интегральной суммы получить определенный интеграл?

2. Как меняется определенный интеграл при перемене пределов интегрирования?

3. Чему равен определенный интеграл по теореме о среднем?

4. Какой формулой связаны определенный и неопределенный интегралы?

Поиск по сайту: